Blog Matematika Pak Satria

Bilangan Real, Mengisi kekosongan

Apa itu bilangan real?

Sebagai guru SMA, saya kaget cukup banyak murid saya yang belum bisa menjawab pertanyaan tersebut, seharusnya konsep bilangan sudah dijelaskan waktu SMP (Btw bilangan dan angka itu beda lho).

Secara sederhana bilangan real adalah SEMUA bilangan yang kita gunakan untuk mengukur dan menghitung. Kalau itu semua kita urutkan maka kita akan mendapatkan garis bilangan real

Dengan nol sebagai titik pusat, sebelah kanan nol adalah positif, sebelah kiri adalah negatif. Jadi nol adalah netral, titik batas antara positif dan negatif.

Mengisi kekosongan

Bilangan real tidak ujug-ujug jadi melainkan merupakan evolusi panjang dari pengetahuan manusia.

Bilangan Asli

Pada mulanya hanya ada bilangan asli (Natural number), dimulai dari 1,2,3 dst. Dengan bilangan asli, nenek moyang kita sudah bisa menghitung banyaknya ternak, banyaknya hewan buruan, banyaknya anggota suku, banyaknya musuh. Di jaman pemburu pengumpul, bilangan asli sudah mampu memenuhi kebutuhan nenek moyang kita, ketika itu belum ada nol.

Bilangan Cacah

Awalnya nol adalah simbol yang menyatakan kekosongan, ketiadaan bukanlah bilangan yang bisa dikenakan operasi aritmatika. Barulah Brahmagupta (hidup sekitar 500 SM) matematikawan India yang pertamakali memasukkan nol ke matematika, memperlakukan nol layaknya bilangan. Jadilah nol masuk ke bilangan, bersama bilangan asli membentuk bilangan cacah (Whole Numbers)

Bilangan Bulat

Ketika nenak-moyang kita mulai bercocok tanam, mereka menyadari hasil panen tidak selalu untung, bisa saja merugi, bisa saja gagal panen. Ketika panen gagal, tidak ada persedian pangan tentulah mereka harus mencari utang ke seseorang yang panennya melimpah. Di sinilah muncul konsep bilangan negatif dan postif sebagai representasi dari keuntungan dan kerugian / utang. Bilangan negatif dan bilangan cacah bergabung membentuk bilangan bulat (Integers Numbers) Bilangan negatif ditempatkan di sisi kiri nol. Sekarang sisi kiri dari nol ada yang mengisi, tidak lagi kosong.

Bilangan Rasional

Nenek moyang kita menyadari bahwa hasil perhitungan khususnya pembagian tidak selalu bulat, munculah pecahan berbetuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat. Pecahan-pechan ini mengisi celah di antara bilangan bulat. Pecahan dan bilangan bulat bergabung membentuk bilangan rasional. Semua bilangan bulat bisa diubah kebentuk pecahan sebagai contoh $15= \frac{30}{2}=\frac{150}{10}$
(more…)

October 18, 2026
Peluang membentuk segitiga
Jika suatu batang kayu dipotong secara acak menjadi 3 potongan, berapa peluang ketiga potongan tersebut dapat membentuk segitiga?

Untuk menjawab pertanyaan diatas, pertama-tama kita harus paham dengan pertidaksamaan segitiga

Diberikan segitiga dengan sisi $a$ , $b$ , dan $c$ maka haruslah berlaku 3 kondisi berikut:
1. $a+b>c$
2. $a+c>b$
3. $b+c>a$
Dengan kata lain jumlah panjang 2 sisi manapun haruslah lebih panjang dari panjang 1 sisi sisanya.

Sebagai contoh: 3 batang kayu berukuran 5 cm, 3 cm dan 10 cm. Ketiga batang kayu ini mustahil membentuk segitiga karena 5+3=8 kurang dari 10.

Misalkan potongan kayu sepanjang 1 satuan, ujung kiri adalah titik awal bernilai nol dan ujung kanan adalah titik akhir bernilai 1

Untuk membuat sepotong kayu menjadi 3 potong, kita memerlukan 2 titik potong, misalkan titik potong tersebut $x$ dan $y$ dengan asumsi $x<y$ . Potogan pertama terletak di dekat titik 0 dan potongan kedua terletak di dekat titik 1

Kita mendapatkan 3 panjang potongan kayu:
- Potongan pertama panjangnya $x$
- Potongan kedua panjangnya $y-x$
- Potongan ketiga panjangnya $1-y$
yang harus memenuhi 3 kondisi dari pertidaksamaan segitiga.
(more…)
September 13, 2026

segitiga
Memilih untuk tidak memilih
Orang bijak berkata

hidup adalah pilihan

Dalam matematika, ada metode bagaimana kita menghitung banyaknya cara untuk memilih, disebut kombinasi dinotasikan $nCr$ dengan $n$ total objek dan $r$ objek yang kita pilih, dirumuskan

$nCr=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

dengan ! adalah notasi faktorial.

Contoh:

Ada 4 orang: Adi, Budi, Ciko dan Dodo akan dipilih 3 orang untuk pergi ke Jakarta. Tentukan banyaknya cara memilih!

Jawab:

Ada 4 orang yang dipilih 3 orang, artinya $n=4$ dan $r=3$ maka

$4C3=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4\cdot 3!}{3!1!}=\frac{4}{1}=4$

Ada 4 cara kita memilih 2 orang dari 4 orang untuk pergi ke jakarta, yaitu:
1. Adi, Budi, Ciko
2. Adi, Budi, Dodo
3. Adi, Ciko, Dodo
4. Budi, Ciko, Dodo
Nah..sekarang pertanyaannya

Bagaimana jika kita tidak memilih? Ada $n$ objek namun yang kita pilih Nol objek? dengan kata lain $nC0$ ?

Ketika saya lempar pertanyaan ini ke murid-murid saya, mayoritas menjawab nol cara. Intuisi kita menngatakan kalau kita tidak memilih, kalau tidak ada objek yang kita pilih maka tentu saja banyaknya cara memilih adalah nol.

Coba kita hitung dengan rumus

$nC0=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{0!n!}=\frac{1}{0!}=1$

(note: $0!=1$ )

Jadi dalam matematika, tidak memilih merupakan pilihan. Misala kamu ke toko sepatu, ada sekian banyak sepatu namun kamu tidak ada yang cocok maka kamu memilih untuk tidak memilih, untuk tidak membeli sepatu di toko tersebut. Dalam pemilu, golput adalah pilihan.
August 24, 2026

kombinasi, nol, pilihan
Tanda tanya dan segitiga
Sudah banyak yang tahu bahwa dalam matematika, tanda seru (!) adalah notasi untuk faktorial

$n!(\text{dibaca n fakrorial})=1\times 2 \times3 \times\cdots \times n$

Contoh:
- 2!=1×2=2
- 3!=1×2×3=6
- 10!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3.628.800
Apa makna faktorial?

Kita bisa melihat faktorial sebagai banyaknya cara menyusun n objek yang berbeda

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Ada 3!=6 cara menyusun 3 objek yang berbeda.

Sedikit orang yang tahu bahwa sebenernya faktorial punya teman namanya termial. Jika faktorial notasinya tanda seru (!) maka termial notasinya tanda tanya (?). Jika faktorial dikali maka termial itu ditambah.

$n?(\text{dibaca n termial})=1+2+3+\cdots +n$

Contoh:
- 3?=1+2=3
- 3?=1+2+3=5
- 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, kita mendapatkan rumus

$n?=\frac{n(n+1)}{2}$

Apa makna termial?

Sebenernya termial lebih dikenal dengan sebutan bilangan segitiga (Triangular numbers). Banyaknya titik yang menyusun segitiga sama sisi

Sumber: Wikipedia
August 2, 2026

segitiga
Titik dan garis hubung (Teorema Sylvester-Gallai)

Pada Matematika, kita seringkali membuktikan pernyataan yang teramat jelas sekali. Contoh terkenalnya adalah pembuktian 1+1=2 oleh Bertrand russell. Prinsipnya jika pernyataan tersbut bukan aksioma maka kita wajib membuktikannya.

Sekarang kita akan membahas contoh lain pernyataan matematis yang so obvious

Teorema Sylvester-Gallai: Diberikan titik-titik berhingga paling sedikit 3 titik pada bidang datar dan tidak semua titik segaris) maka pasti ada suatu garis yang melalui tepat 2 titik .

Ilustrasi di atas adalah contoh dari teorema ini, saya meletakkan 5 titik secara acak dengan mudah kita bisa menarik garis hubung yang hanya mengubungi 2 titik.
(more…)

August 1, 2026

titik
Teorema Monge

Dua lingkaran yang berbeda ukuran bisa kita hubungkan dengan sepasang garis singgung persekutuan luar, Karna kedua lingkaran berbeda ukuran maka kedua garis tersebut tidak sejajar yang berakibat pasti akan memiliki titik berpotongan,

Sepasang garis singgung lingkaran dengan titik potong di G

Teorema Monge:

Diberikan tiga lingkaran dengan jari-jari berbeda berbeda dan tidak ada satu lingkaran yang sepenuhnya berada didalam lingkaran lain, jika ketiganya dihubungkan dengan 3 pasang garis singgung maka ketiga titik potong yang terbentuk akan segaris (berada pada garis yang sama)

sumber wikipedia: ada 3 titik potong P1, P2 & P3, ketiganya segaris

Menurut saya ini teorema yang mindblowing, bayangkan kita menyusun secara acak 3 lingkaran berbeda hubungkan dengan garis singgung maka apapun posisi dari ketiga lingkaran, kita akan selalu mendapatkan tiga titik potong yang segaris.
(more…)

July 18, 2026

garis singgung, lingkaran, teorema
Teorema Menelaus

Berawal dari segitiga ABC dengan alas AB

Gambar 1

Kemudian perpanjang alas AB sampai D

Gambar 2

Tarik garis dari titik D yang memotong sisi BC dan AC di E dan F

Gambar 3

Menelaus dari Alexandria yang hidup sekitar 100 SM menyatakan:

$\frac{FE}{ED}\times \frac{CA}{CF}\times \frac{BD}{AB}=1$

Inilah yang sekarang dikenal dengan Teorema Menelaus.
(more…)

July 17, 2026

garis, segitiga
Keliling dan Luas yang sama

Apakah ada persegi panjang yang kelilingnya 1 cm dan luasnya 1 cm²?

Kita tahu rumus keliling persegi panjang 2p+2l dan rumus luas p×l. Untuk menjawab pertanyaan di atas, sama saja dengan mencari solusi dari

$2p+2l=1$

$pl=1$

Dari persamaan pertama kita mendapatkan

$2p+2l=1 \leftrightarrow 2p=1-2l \leftrightarrow p=\frac{1-2l}{2}$

Subtitusi ke pesamaan 2

$\frac{1-2l}{2}\times l=1$

$\frac{l-2l^2}{2}=1$

Kalikan kedua sisi dengan 2

$l-2l^2=2$

$0=2l^2-l+2$

Kita memperoleh persamaan kuadrat, kita selesaikan dengan rumus abc

$l=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot 2} }{2\cdot 2}$

$l=\frac{1\pm\sqrt{1-16} }{4}$

$l=\frac{1\pm\sqrt{-15} }{4}$

Eh.. $\sqrt{-15}$ itu imajiner tidak real, so disimpulkan

Mustahil ada persegi yang kelilingnya 1 cm dan luasnya 1 cm²

Pertanyaan selanjutnya

Apakah ada persegi panjang yang keliling dan luasnya sama?
(more…)

July 11, 2026

luas, persegi
Pembuktian paling sederhana pi irasional

Saya penah menuliskan pembuktian pi irasional pada awal-awal ngeblog. Sekarang saya ingin membahas hal serupa, yang katanya pembuktian paling sederhana, ditulis oleh Ivan Niven pada tahun 1947. Bisa kalian unduh di sini. Bayangkan saja, papernya cuman 1 halaman lho.

Tulisan saya kali ini adalah pembahasan paper tesebut.

Andaikan $\pi$ rasional maka $\pi=\frac{a}{b}$ , untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif karena nilai $\pi$ sekitar 3,14 maka haruslah $a > b$

Pertama-tama Om Niven mendefinisikan fungsi

$f(x)=\frac{x^n\left( a-bx \right)^n}{n!}$

dengan $n$ adalah bilangan asli.

Dengan mudah kita hitung

$f(0)=0$

$f(\pi)=f(\frac{a}{b})=0$

Akan saya tulis ulang fungsinya menjadi

$f(x)=\frac{x^n\left( a-bx \right)^n}{n!}=\frac{1}{n!}\left( \left( x \right)\left( a-x \right) \right)^{n}$

Jabarkan dengan teorema Binomial Newton

$f(x) =\frac{1}{n!} \left[ \binom{n}{0}a^n x^n – \binom{n}{1}a^{n-1}b x^{n+1} + \dots + (-1)^n \binom{n}{n} b^n x^{2n} \right]$

Jadi $f(x)$ adalah suku banyak berderajat (pangkat tertinggi) 2n dan terendah n

Turunan $f(x)$

Sekarang kita akan bahas turunan dari $f(x)$ .

Didefinisikan $f^{j}(x)$ turunan ke-j dari $f(x)$ . Turunan $f^{j}(x)$ akan selalu bernilai bulat di $x=0$

Mengapa?
(more…)

July 6, 2026

pi
Akar ke akar dua dari dua
Pada postingan sebelumnya saya menyinggung $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ , akar dua pangkat akar dua yang nilainya sekitar

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\approx 1,632527$

Nah..apakah kalian tahu berlaku kesamaan

$^{\sqrt{2}}\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$

Ruas kiri dibaca akar ke akar dua dari dua. Kalau kita perhatikan kedua bentuk tersebut sepertinya cuman dibolak-balik aja. Apakah nilanya pasti sama?

Mari kita buktikan. Akan kita buktikan dari kiri ke kanan

Diketahui bahwa akar ke-n sama saja dengan pangkat 1/n ( $^n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$ ), diperoleh

$^{\sqrt{2}}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Kita rasionalkan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ menjadi $\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$^{\sqrt{2}}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\left( 2^\frac{1}{2} \right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$

■

Terbukti keduanya adalah hal yang sama. Cara lain, kita bisa mendefiniskan persamaan

$x^{\sqrt{2}}=2$

dengan mudah ditunjukkan bahwa keduanya adalah solusi dari persamaan diatas.
- $\left( ^{\sqrt{2}}\sqrt{2} \right)^{\sqrt{2}}=2$
- $\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2$
Karena fungsi $f(x)=x^{\sqrt{2}}$ itu satu-satu maka disimpulkan

$^{\sqrt{2}}\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$
July 4, 2026