Factor de Lorentz

Factor de Lorentz γ en funció de la velocitat. El seu valor inicial és 1 (quan v = 0); i a mesura que s'acosta la velocitat la velocitat de la llum (v → c) γ augmenta sense límit (γ → ∞).

El factor de Lorentz o terme de Lorentz és una quantitat que expressa quant canvien les mesures de temps, longitud i altres propietats físiques per a un objecte mentre aquest objecte es mou.

L'expressió apareix en diverses equacions de la relativitat especial, i sorgeix en derivacions de les transformacions de Lorentz. El nom prové de la seva aparició anterior a l'electrodinàmica lorentziana, que rep el nom del físic holandès Hendrik Lorentz.

Generalment es denota γ (la lletra grega minúscula gamma). De vegades (especialment en la discussió del moviment superlumínic) el factor s'escriu com a Γ (grec majúscula-gamma) en lloc de γ.

El factor de Lorentz γ es defineix com

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}$

on:

• v és la velocitat relativa entre marcs de referència inercials,
• c és la velocitat de la llum en el buit,
• β (entre 0 i 1) és el ràtio de la velocitat v de la partícula respecte de la velocitat de la llum c,
• t és la coordenada del temps,
• τ és el temps propi de l'observador (mesura dels intervals de temps en el marc del propi observador).

Aquesta és la forma més utilitzada a la pràctica, encara que no l'única. Per a complementar la definició, alguns autors defineixen el recíproc

$\alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};$

Valors numèrics

Factor de Lorentz γ com a funció de la velocitat, expressat com una fracció de la velocitat de la llum (v/c). El seu valor inicial és 1 (quan v = 0); i a mesura que la velocitat s'acosta a la velocitat de la llum (v → c) γ augmenta sense límit (γ → ∞).

α (Factor Lorentz invers) com a funció de velocitat, forma d'arc circular

A la taula següent, la columna esquerra mostra les velocitats com a diferents fraccions de la velocitat de la llum (és a dir, en unitats de c). La columna del mig mostra el factor de Lorentz corresponent, i la final és el recíproc. Els valors en negreta són exactes.

Velocitat (unitats de c), β = v/c	Factor de Lorentz, γ	Recíproc, 1/γ
0	1	1
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.25	0.8
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.6
0.866	2	0.5
0.900	2.294	0.436
0.980	5	0.2
0.990	7.089	0.141
0.995	10	0.1
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

Gràfic log-logarítmic del factor de Lorentz γ (esquerra) i 1/γ (dreta) vs fracció de la velocitat de la llum β (a baix) i 1−β (a dalt)

Aplicacions en astronomia

El model estàndard de els esclats de raigs gamma de llarga durada (GRB) sosté que aquestes explosions són ultrarelativistes (γ inicial superior a aproximadament 100), cosa que s'invoca per explicar el problema de la "compactitat": sense aquesta expansió ultrarelativista, els materials expulsats serien òpticament gruixuts per produir parells a energies espectrals màximes típiques d'uns pocs centenars de keV, mentre que s'observa que l'emissió immediata no és tèrmica.

Els muons, una partícula subatòmica, viatgen a una velocitat tal que tenen un factor de Lorentz relativament alt i, per tant, experimenten una dilatació del temps extrema. Com que els muons tenen una vida útil mitjana de només 2,2 μs, els muons generats a partir de col·lisions de raigs còsmics a 10 km d'alçada a l'atmosfera terrestre haurien de ser no detectables a terra a causa de la seva taxa de desintegració. Tanmateix, aproximadament el 10% dels muons d'aquestes col·lisions encara són detectables a la superfície, cosa que demostra els efectes de la dilatació del temps sobre la seva taxa de desintegració.