Tenzor

Tenzor je v matematice multilineární geometrický objekt používaný k popisu lineárních vztahů mezi vektory, kovektory a dalšími tenzory.

Tenzory jsou nezávislé na volbě souřadnic, přestože jejich složky se při změně souřadnic transformují podle přesně daných pravidel.

Speciálními případy tenzorů jsou:

skaláry (tenzory řádu 0)
vektory a kovektory (tenzory řádu 1)
metrický tenzor
tenzor křivosti
tenzor napětí

Definice

Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $\mathbb {F}$ a $V^{*}$ jeho duální prostor. Tenzor typu $(r,s)$ je multilineární zobrazení

T:(V^{*})^{r}\times V^{s}\rightarrow \mathbb {F} ,

které je lineární v každém ze svých argumentů.

Číslo $r$ udává počet kontravariantních indexů a číslo $s$ počet kovariantních indexů. Součet $r+s$ se nazývá řád tenzoru.

Po zvolení báze lze tenzor vyjádřit pomocí jeho složek. Například tenzor typu $(1,2)$ má složky

T_{\nu \rho }^{\mu }.

Při změně souřadnic se složky tenzoru transformují podle přesně definovaných pravidel, avšak samotný tenzor jako geometrický objekt zůstává nezměněn.

Transformační zákon

Při změně souřadnic se složky tenzoru obecně mění. Způsob jejich transformace však není libovolný, ale je jednoznačně určen transformačním zákonem. Právě tato vlastnost odlišuje tenzory od obecných souborů čísel.

Kontravariantní složky vektoru se transformují podle vztahu

V'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}V^{\nu },

zatímco kovariantní složky se transformují jako

\omega '_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x'^{\mu }}}\omega _{\nu }.

Obecně se každý kontravariantní index transformuje pomocí matice přímé transformace a každý kovariantní index pomocí matice transformace inverzní. Například tenzor typu $(1,1)$ se transformuje podle vztahu

T'^{\mu }{}_{\nu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x'^{\nu }}}T^{\alpha }{}_{\beta }.

Transformační zákon zajišťuje, že geometrický význam tenzoru nezávisí na volbě souřadnicové soustavy.

Tenzorový součin

Z jednodušších tenzorů lze vytvářet tenzory vyššího řádu pomocí tenzorového součinu. Je-li $A^{\mu }$ a $B^{\nu }$ dvojice vektorů, pak jejich tenzorový součin je tenzor typu $(2,0)$ se složkami

T^{\mu \nu }=A^{\mu }B^{\nu }.

Obecně platí, že tenzorový součin tenzoru typu $(r,s)$ a tenzoru typu $(p,q)$ je tenzor typu

(r+p,s+q).

Tenzorový součin je bilineární operace a představuje základní způsob konstrukce složitějších tenzorů z jednodušších.^[1]

Příklady

Skalár

Skalár je tenzor typu $(0,0)$ . Jeho hodnota nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. Příkladem skaláru je teplota, hmotnost nebo vlastní čas.

Vektor

Vektor je tenzor prvního řádu typu $(1,0)$ . Jeho složky se při změně souřadnic transformují kontravariantně.

Kovektor

Kovektor neboli duální vektor je tenzor typu $(0,1)$ . Jeho složky se při změně souřadnic transformují kovariantně.

Metrický tenzor

Metrický tenzor je symetrický tenzor typu $(0,2)$ , který umožňuje definovat skalární součin, délky křivek, úhly a další geometrické vlastnosti prostoru nebo časoprostoru.

Tenzor křivosti

Tenzor křivosti popisuje zakřivení variety. V diferenciální geometrii a obecné teorii relativity hraje klíčovou roli zejména Riemannův tenzor křivosti, ze kterého lze odvodit Ricciho tenzor a skalární křivost.

Použití ve fyzice

Tenzory se používají v mnoha oblastech fyziky k popisu fyzikálních veličin nezávislých na volbě souřadnicové soustavy. Umožňují formulovat fyzikální zákony ve tvaru, který zůstává platný při změně souřadnic.^[2]

V klasické mechanice se tenzory používají například pro popis momentu setrvačnosti nebo napětí v pružných tělesech. V elektrodynamice je elektromagnetické pole popsáno elektromagnetickým tenzorem.

Významnou úlohu hrají tenzory v obecné teorii relativity, kde je gravitační pole popsáno pomocí metrického tenzoru a zakřivení časoprostoru pomocí Riemannova tenzoru křivosti, Ricciho tenzoru a Einsteinova tenzoru. Einsteinovy rovnice pole vyjadřují vztah mezi geometrií časoprostoru a rozložením hmoty a energie prostřednictvím tenzorových veličin.^[2]

Odkazy

Reference

↑ KRTOUŠ, Pavel. Geometrické metody ve fyzice. [s.l.]: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Dostupné online.
1 2 WALD, Robert M. General Relativity. Chicago: University of Chicago Press, 1984. Dostupné online. ISBN 978-0-226-87033-5.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu tenzor na Wikimedia Commons

[Krtous-1] KRTOUŠ, Pavel. Geometrické metody ve fyzice. [s.l.]: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Dostupné online.

[Wald-2] 1 2 WALD, Robert M. General Relativity. Chicago: University of Chicago Press, 1984. Dostupné online. ISBN 978-0-226-87033-5.

[1]

[2]