Laplaceren transformazio

Zenbat eta maiztasun altuagoak batu, orduan eta hurbilpen hobea lortuko da. Laplaceren transformatua adierazten du grafiko berdeak .

Matematikan, Laplaceren transformatua, Pierre-Simon Laplace zientzialari frantsesaren ohorez izendatua, aldagai errealeko funtzio bat (normalean $t$) $s$ aldagai konplexuko funtzio batera bihurrarazten duen transformatua integrala da.

Lehenengo funtzioa, gehienetan $t$, denbora-eremuan egoten da definitua; bigarren funtzioa, aldiz, maiztasun-eremuan egon ohi da definitua, alegia, $s$-eremu notazioaz ezagutzen den horretan.

Laplaceren transformatuak hainbat erabilera ditu zientzia eta ingeniaritzako esparruetan, ekuazio diferentzialak ebazteko tresna baita. Partikularki, ekuazio diferentzial arruntak ekuazio aljebraiko bihurtzen ditu eta konboluzioa, biderketa.$f$ funtzio egokietarako, Laplaceren transformatua hurrengo integrala da:$${\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$$

Historia

Pierre-Simon Laplace astronomo eta matematikariaren oroimenez izendatua izan zen Laplaceren transformatua, hark probabilitate teoriarako antzeko transformatua bat erabili baitzuen. Laplacek funtzio sortzaileen erabilerari buruz luze idatzi zuen Essai philosophique sur les probabilités (1814) liburuan, zeinen ondorioa Laplaceren transformatuaren forma integrala izan zen.

Pierre-Simon, marquis de Laplace

Gaur egun z-transformatua deitzen denaren antzekoa zen Laplaceren funtzio sortzaileen erabilera, baina Laplacek ez zien kasu handirik egin aldagai jarraituei, Niels Henrik Abelek ikertu zuena. Teoria hori geroago garatu zuten Mathias Lerch, Oliver Heaviside, eta Thomas Bromwichek XIX. eta XX. mendeetan.

Laplaceren transformatuaren gaur egungo erabilera hedatuena (nagusiki ingeniaritzan) Bigarren Mundu Gerran sortu zen, eta lehenagoko Heavisideren kalkulu operazionala ordezkatu zuen. Laplaceren transformatuaren abantailak Gustav Doestchek nabarmendu zituen, eta badirudi beronek ezarri zuela Laplaceren transformatua izena.

1744tik aurrera, Leonhard Eulerrek era honetako integralak ikertu zituen:$$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ eta }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx,$$Ekuazio diferentzialen ebazpen bat lortu nahian; baina gai hori asko garatu gabe utzi zuen. Eulerren mireslea zen Joseph Louis Lagrange, bere probabilitatearen dentsitate-funtzioei buruzko lanean, ondorengo erako adierazpenak ikertzen aritu zen:$$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$$Zenbait historialariren ustez, aurreko adierazpen horiek Laplaceren transformatuaren teoriaren barruan kokatu beharko lirateke.

Era horretako integralek Laplaceren arreta piztu zuten 1782an, eta integralak ekuazioen soluziotzat hartzen hasi zen. Alabaina, 1785an, integral erako soluzioak bilatu beharrean, aurrerako pauso bat eman eta transformatuak erabiltzen hasi zen geroago erabiliko zen eran. Horrela, ondoko era honetako integralak erabili zituen (Mellinen transformatuaaren antzeko zirenak):$$\int x^{s}\varphi (x)\,dx,$$Integral horiek erabili zituen ekuazio diferentzial oso bat transformatzeko, eta horrela transformatuaren soluzio bat bilatzeko. Orduan, hurrengo urratsa egin zuen Laplacek: Laplaceren transformatua era berean erabiltzen hasi zen eta, zenbait propietate deribatuz, transformatuak izan zezakeen potentzialaz ohartu zen.

Laplacek onartu zuen halaber difusio ekuazioa ebazteko Joseph Fourierrek erabilitako Fourierren serieen metodoa $s$ eremuko esparru mugatu batean bakarrik aplikatu ahal zela; soluzioak periodikoak baitziren. 1809an, Laplacek bere transformatua erabili zuen mugarik ez zuten soluzioak aurkitzeko.

Definizio formala

$f(t)$ funtzio baten Laplaceren transformatua, edozein $t\geq 0$ zenbaki errealetarako definituta, $F(s)$ funtzioa da, zeina transformatua unilaterala den hurrengo moduan definiturik:$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\exp(-st)dt$$non $s$ maiztasun parametro konplexua den,

$s=\sigma +i\omega$

$\sigma$ eta $\omega$ zenbaki errealak izanik.

Laplaceren transformatua adierazteko beste notazio bat ${\mathcal {L}}\{f\}$ izan daiteke, $F$-ren ordez.

Integralaren existentziarako, $f$ lokalki integragarri izan behar da $[0,\infty )$ tartean. Lokalki integragarri diren funtzioak, zeinak infinituan ahultzen diren edo esponentzialak diren ($|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$), Lebesgueren integral zuzentzat har daitezke. Hala ere, hainbat aplikaziotarako, integral hori infinituan integral inpropiotzat hartuko dugu, zeinak konbergentzia baldintzatuta duen.

Borelen neurketa finitu baten ($\mu$) Laplaceren transformatua honela defini daiteke:$${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t)$$. Kasu berezi bat daukagu $\mu$ probabilitate neurketa bat denean, adibidez, Diracen delta funtzioaren kasuan. Analisi diferentzialean, neurketa baten Laplaceren transformatua $f$ probabilitate-dentsitate funtziotik datorrela suposatuko da. Kasu horretan, Laplaceren transformatua hurrengo moduan adieraziko da, sor daitezkeen nahasketak ekiditeko:$${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{-\epsilon }^{\infty }f(t)e^{-st}dt.$$Limite horrek adierazten du 0an kokatuta dagoen edozein masa puntual guztiz sartuta dagoela Laplaceren transformatuan. Hala ere, Lebesgueren integrala erabiliz gero, ez litzateke beharrezkoa izango limite hori hartzea, modu zuzenago batean erlazionatzen delako Laplace-Stieltjesen transformatuarekin.

Laplaceren transformatua bilaterala

"Laplaceren transformatua" aipatzen denean besterik gabe, transformatua unilaterala ulertzen da. Beste aukera bat Laplaceren transformatua definitzeko, Laplaceren transformatua bilaterala edo aldebiko Laplaceren transformatua izan daiteke, integrazio limiteak ardatz erreal osora zabalduz. Hori eginez gero, orokorra den transformatuaren definizio unilaterala transformatua bilateralaren kasu berezi bat bihurtzen da (non transformatzen den funtzioaren definizioa biderkatzen den bider maila-funtzioa).

Laplaceren transformatua bilaterala ${\mathcal {F}}(s)$ honela defini daiteke:$${\mathcal {F}}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt$$${\mathcal {F}}$-ren ordez, ${\mathcal {B}}(f)$ adieraz daiteke.

Laplaceren transformatuaren alderantzizkoa

Bi funtzio integragarrik Laplaceren transformatua bera izango dute, baldin eta haien arteko diferentzia zero multzo bat bada Lebesgue neurketan. Horrek alderantzizko transformatua bat dagoela esan nahi du transformatuaren tartean. Izatez, Laplaceren transformatua funtzio injektiboa da funtzio-espazio batetik bestera, nahiz eta tartearen bereizketa zaila izan.

Kasu horietan, Laplaceren transformatuaren irudia konbergentzia eremuko funtzio analitikoen eremuan aurkitzen da. Laplaceren transformatuaren alderantzizkoa hurrengo integral konplexua itzuliko du, izendatzeko hainbat modu dauzkana (Bromwich integrala, Fourier-Mellin integrala, eta Mellinen alderantzizko formula):$$f(t)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\mathcal {F}}\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\rightarrow \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}{\mathcal {F}}(s)ds$$non $\gamma$ zenbaki erreal bat den, integrazio eremua ${\mathcal {F}}(s)$-ren konbergentzia eremuan egon dadin. Erabiltzen den gehienetan eremua itxia izan daiteke, Cauchyren hondarraren teorema aplikatzeko aukera emanez. Posten inbertsio formula beste formula aukera bat Laplaceren alderantzizko transformatua kalkulatzeko izan daiteke, limitea ahul-*topologian bilatuz.

Praktikoki, orokorrean, erabilgarriagoa da Laplaceren transformatua taulatik ateratako ezagunak diren funtzioen transformazioetan banantzea, eta alderantzizkoa ikuskatuz eraikitzea.

Probabilitate teoria

Probabilitate puruan eta aplikatuan, Laplaceren transformatua itxarondako baliotzat defini daiteke. $X$ ausazko aldagaia izanik,

$f$ dentsitate-funtzioa duena, hurrengoa izango da f-ren Laplaceren transformatua:$${\mathcal {L}}\{{\mathcal {f}}\}(s)=E[e^{-sX}].$$Hitzarmenez, horri $X$ ausazko aldagaiaren Laplaceren transformatua deitzen diogu. s aldagaia $-t$-z ordezkatuz gero, $X$-ren momentu sortzaile funtzioa lortuko da. Laplaceren transformatua nabarmenki erabiltzen da probabilitate teorian, prozesu estokastikoak barne hartuz, esate baterako, Markov prozesua.

Laplaceren transformatua baliagarria da banaketa-funtzioa berreskuratzeko, $X$ ausazko aldagai jarraituarena hain zuzen, hurrengo moduan erabiliz:$$F_{X}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}E[e^{-sX}]\}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\}(x)$$

Konbergentzia eremua

$f$ lokalki integragarria den funtzioa izanik, $F(s)$ Laplaceren transformatuak konbergitu egingo du ondorengo limitea existitzen bada:$$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$$

Ondorengo integrala Lebesgueren integral propio bezala existitzen bada, Laplaceren transformatuak absolutuki konbergituko du:$$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$$Laplaceren transformatua, orokorrean, baldintzazko konbergentea da, hau da, azaldutako lehenengo zentzuan konbergituko du, baina ez du zertan bigarren zentzuan.

$F(s)$-k absolutuki konbergitzeko har ditzakeen $s$-ren balioak $Re(s)>a$ edo $Re(s)\geq a$ erakoak dira, non $a$ konstante erreal hedatua den eta$-\infty \leq a\leq \infty$ (konbergentzia teorema menderatuaren ondorio). $a$ konstantea konbergentzia absolutuaren abzisa izenez ezagutzen da, eta $f(t)$-ren handitze portaeraren araberakoa da. Era berean, aldebiko Laplaceren transformatuak absolutuki konbergitu egiten du $a<Re(s)<b$ tarte batean, eta ziurrenik $Re(s)=a$ eta $Re(s)=b$ zuzenak ere barne hartuko ditu. Konbergentzia absolutuko eremua Laplaceren transformatuak absolutuki konbergitu egiten dueneko $s$-ren balio tartea izango da. Laplaceren transformatua analitikoa da konbergentzia absolutuko eremuan, Fubbiniren teoremaren eta Moreraren teoremaren ondorio dena.

Antzeko eran, $F(s)$-k konbergitzen duenean (bai absolutuki bai baldintzaz), har dezakeen $s$-ren balioen tarteari konbergentzia-eremu deritzo. Laplaceren transformatuak $s=s_{0}$-n konbergitu egiten badu (baldintzaz), edozein $s$ baliotan konbergituko du automatikoki, $Re(s)>Re(s_{0})$ bada. Hortaz, konbergentzia-eremua $Re(s)>a$ formako planoerdia da, $Re(s)=a$ zuzeneko puntu batzuk hartuta, agian.

$Re(s)>Re(s_{0})$ konbergentzia-eremuan, $f$ funtzioaren Laplaceren transformatua ondorengo zatikako integralaren bidez adieraz daiteke:$$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$$Hau da, konbergentzia eremuan, $F(s)$ beste funtzio baten Laplaceren transformatua gisa adieraz daiteke modu eraginkorrean, edo, zehatzagoak izanik, absolutuki konbergitzen duen Laplaceren transformatua gisa.

Hainbat Paley-Wienerren teorema daude $f$ funtzioaren ahultze-propietateen eta Laplaceren transformatuak konbergentzia eremuan dituen propietateen arteko harremanaren inguruan.

Ingeniaritzarako aplikazioetan, linealki denborarekiko inbariantea den sistema bati (LTI sistema edo Linear Time-Invariant) dagokion funtzio bat egonkorra da bornatutako sarrera bakoitzak bornatutako irteera sortzen badu. Horren baliokidea izango litzateke Laplaceren transformatuaren konbergentzia absolutua pultsu-erantzunaren funtzioarentzat, $Re(s)\geq 0$ eremuan. Ondorioz, LTI sistemak egonkorrak dira, baldin eta pultsu-erantzun funtzioaren Laplaceren transformatuaren poloek parte erreal negatiboa badute.

Konbergentzia-eremu hori sistemen kausalitatea eta egonkortasuna aztertzeko erabiltzen da.

Propietateak

Laplaceren transformatuak hainbat propietate ditu sistema dinamiko linealak analizatzeko. Abantaila handiena da $s$-ren bidez deribatua biderketa eta integrazioa zatiketa bihurtzen direla.

Azken propietate honengatik, Laplaceren $s$ aldagaia aldagai eragile izenaz ezagutzen da $L$ eremuan: bai deribatu aldagai eragilea ($s^{-1}$-erako), bai integrazio aldagai eragilea. Laplaceren transformatuak, beraz, eraldatu ahal ditu ekuazio integralak eta ekuazio diferentzialak ekuazio polinomikoetara, ebazteko askoz errazagoak direnak. Behin ekuazioak ebatzita, Laplaceren transformatuaren alderantzizkoa erabiliz jatorrizko eremura itzul daiteke.

Aipa ditzagun Laplaceren transformatuaren propietateak banan-banan. Izan bitez $f(t)$ eta $g(t)$ funtzioak, eta hauen Laplaceren transformatuak $F(s)$ eta $G(s)$:$${\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s).\end{aligned}}$$Ondorengo taula Laplaceren aldebakarreko transformatuaren propietateen zerrenda bat da:

Laplaceren aldebakarreko transformatuaren propietateak
Propietatea	Denbora eremua	s-eremua	Iruzkinak
Linealtasuna	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Frogatu daiteke integrazioko oinarrizko arauekin.
Maiztasun-eremu deribatua	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	$F$-ren lehenengo deribatua $s$-rekiko.
Maiztasun-eremu integrazio orokorra	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	Modu orokorragoa, $F(s)$ funtzioaren n-garren deribatua.
Deribatua	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{+})\$	Izan bedi $f$ funtzio diferentziagarria eta bere deribatua esponentzial erakoa den funtzioa. Hau zatikako integrazioa erabiliz lor daiteke.
Bigarren deribatua	$f''(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+})\ }$	Izan bedi $f$ birritan diferentziagarria eta bere bigarren deribatua esponentzial erakoa den funtzioa. $f'(t)$-ri deribatuaren propietatea aplikatuz garatzen da.
Deribatu orokorra	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+})\$	Izan bedi $f$ n aldiz diferentziagarria eta bere n-garren deribatua esponentzial erakoa den funtzioa. Indukzio matematikoz garatzen da.
Maiztasun-eremu integrazioa	${\frac {1}{t}}f(t)\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$	Honako hau diferentziazio-maiztasunaren izaera eta baldintzazko konbergentziatik ondoriozta dezakegu.
Denbora-eremu integrazioa	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)$ Heaviside maila-funtzioa da eta $(u\times f)(t)$ $u(t)$ eta $f(t)$-ren konboluzioa.
Maiztasun desplazamendua	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
Denbora desplazamendua	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$a>0\$, u(t) Heaviside maila-funtzioa da.
Denbora eskala	$f(at)$	${\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)$	$a>0\$
Biderketa	$f(t)g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	Integrazioa $Re(\sigma )=c$ lerro bertikalean zehar egiten da, $F$ konbergentzia eskualdean erabat kokatuta.
Konboluzioa	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$
Konboluzio zirkularra	$(f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	$T$ periodoa duten funtzio periodikoetan.
Konplexu konjokatua	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
Korrelazio gurutzatua	$(f\star g)(t)=\int _{0}^{\infty }f(\tau )^{*}\,g(t+\tau )\,d\tau$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
Funtzio periodikoa	$f(t)$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	t ≥ 0 guztietarako, $f(t)=f(t+T)$ betetzen duen T periodoko funtzio periodikoa da $f(t)$. Hau denbora desplazamenduaren propietatearen eta serie geometrikoen emaitza da.
Batuketa periodikoa	$\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)u(t-Tn)$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)u(t-Tn)$	${\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)$${\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)$

Beste transformazioekiko lotura

Laplace-Stieltjesen transformatua

$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ funtzio baten Laplace-Stieltjesen transformatua (aldebakarrekoa), Lebesgue-Stieltjesen integralak definitzen du:$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.$$

$g$ funtzioa bornatutako bariaziokoa dela suposatuko da. $g$ funtzioa $f$-ren antideribatua izanik, ondorengoa beteko da:$$g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t$$eta $g$ funtzioaren Laplace-Stieltjesen transformatuak eta $f$-ren Laplaceren transformatuak bat egingo dute. Orokorrean, Laplace-Stieltjesen transformatua $g$-ri dagokion Stieltjesen neurriaren Laplaceren transformatua da. Beraz, praktikan, bi transformazioen arteko alde bakarra da Laplaceren transformatua neurketaren dentsitate-funtzioan aplikatzen dela, eta Laplace-Stieltjesen transformatua, ordea, metatze banaketa-funtzioan.

Fourierren transformatua

Fourierren transformatua aldebiko Laplaceren transformatuaren kasu berezi bat da (zenbait baldintzaren pean). Funtzio baten Fourierren transformatua aldagai erreal baten funtzio konplexua da, eta Laplaceren transformatua, ordea, aldagai konplexu baten funtzio konplexua da. Laplaceren transformatua $t\geq 0$ duten transformatua-funtzioetara mugatu ohi da. Laplaceren transformatua $s$ aldagaiko funtzio holomorfoa izatea izango da mugaketa honen ondorioetako bat. Fourierren transformatua ez bezala, banaketa baten Laplaceren transformatua joera egokidun funtzioa izan ohi da.

Fourierren transformatua. Grafikoak funtzio baten denbora eta maiztasun eremuen arteko lotura adierazten du, Fourierren transformatuan oinarrituta. Fourierren transformatuak $f$ denbora-eremuko funtzio bat hartu (gorriz) eta maiztasun-eremuko ${\hat {f}}$ funtzio bihurtzen du (urdinez). Irudian, uhin karratuaren 6 osagaiko hurbilketa deskonposatzen da 6 sinu uhinetan.

Aldagai konplexuzko teknikak ere erabil daitezke Laplaceren transformatuak aztertzeko. Funtzio holomorfoa izanik, Laplaceren transformatua berretura-serie bidez adieraz daiteke. Berretura-serie horrek funtzioak haien momentuen gainezarpen-lineal moduan adierazten ditu. Ikuspegi honek zenbait aplikazio ditu probabilitate-teorian.

Fourierren transformatuaren adierazpenaren baliokidea da aldebiko Laplaceren transformatuan $s=i\omega$ edo $s=2\pi i\xi$ aldagai irudikariak ordezkatzea, ondorengo baldintza betetzen baldin bada:$${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}$$

Fourierren transformatuaren hitzarmen honek ${\frac {1}{2\pi }}$ faktorea behar du Fourierren transformatuaren alderantzizkoan. Fourierren eta Laplaceren transformazioen arteko harreman hau maiz erabiltzen da seinale edo sistema dinamiko baten maiztasun-espektroa zehazteko.

Goiko harremana onargarria da baldin eta soilik baldin $F(s)$-ren konbergentzia eremuak ardatz irudikaria ($\sigma =0$) barne hartzen badu.

Adibide bat jartzearren, har dezagun $f(t)=cos(\omega _{0}t)$ funtzioa. Bere Laplaceren transformatua $F(s)=s/(s^{2}+\omega _{0}^{2})$ da, zeinen konbergentzia-eremua $Re(s)>0$ motakoa den. Gainera, $s=i\omega _{0}$ aldagaiaren balioa $F(s)$ funtzioaren poloa denez, $s=i\omega$ funtzioan ordezkatzeak ez du $f(t)u(t)$ funtzioaren Fourierren transformatua betetzen. Transformazio hori Diracen delta-funtzioarekiko proportzionala da ($\delta (\omega -\omega _{0})$).

Hala ere, ondokoa bezalako harreman-mota batek baldintza ahulagoetan eusten dio:$$\lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )$$Esate baterako, esandakoa goiko adibidean bermatuko da baldin eta limite hori limite ahultzat hartzen bada. Laplaceren transformatuarekin harremana duten baldintza orokorrek, Fourierren transformatuarekiko mugan, Paley-Wiener teoremen forma hartzen dute.

Mellinen transformatua

Mellinen transformatua eta bere alderantzizkoa aldagai-aldaketa soil batez lot daitezke aldebiko Laplaceren transformatuarekin. Mellinen transformatuan $\theta =e^{-t}$ ordezkatuz, aldebiko Laplaceren transformatua lortzen da:$$G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}$$

Borelen transformatua

Borelen transformatuaaren forma integrala$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz$$Laplaceren transformatuaren kasu partikularra da, non ${\textstyle f}$ funtzio oso bat den esponentzial itxurakoa; hau da,$$|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$$${\textstyle A}$ eta ${\textstyle B}$ konstante batzuentzat. Borelen transformatua orokortuak onartzen du esponentziala ez den beste pisu funtzio bat erabiltzea, transformatu ahal izateko esponentzial itxurakoak ez diren funtzioak. Nachbinen teoremak ematen dizkigu beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak Borelen transformatua ondo definituta egon dadin.

Oinarrizko erlazioak

Aurreko kasuetan ikusi dugun moduan, Laplaceren oinarrizko transformatua bat aldebiko transformatua baten moduan idatz daiteke. Gainera, aldebiko transformatua bat aldebakarreko bi transformazioren batuketaz idatz daiteke. Hori dela eta, azken finean, Laplace-, Fourier-, Mellin- eta Z-transformatuak gai berdineko kasu partikularrak dira. Hala ere, problema eta propietate ezberdinak ematen dizkigute lau oinarrizko integral transformatua hauek.

Adibideak eta aplikazioak

Laplaceren transformatua askotan erabilgarria da ingeniaritzan eta fisikan.

Esate baterako, Laplaceren transformatuak ekuazio diferentzial lineal bat ekuazio aljebraiko bihur dezake. Honek ekuazioa ebazteko prozesua nabarmenki azkartu eta erraztu dezake.

Kondentsadore baten inpedantzia konplexua

Zirkuitu elektrikoen teorian, kondentsadore baten korronte-fluxua zuzenki proportzionala da kapazitatearekiko eta potentzial elektrikoaren aldakuntzarekiko (SI unitatetan). Hau adieraz daiteke honako ekuazio diferentzialaren bitartez:

Zenbait kondentsadore.

$$i=C{dv \over dt},$$non ${\textstyle C}$ kondentsadorearen kapazitatea den (farad unitatetan), ${\textstyle i=i(t)}$ kondentsadoretik doan korronte elektrikoa (ampere unitatetan) denborarekiko funtzio gisa adierazita, eta ${\textstyle v=v(t)}$ kondentsadoreko plaken arteko potentzial diferentzia (volt unitatetan) neurtzen duen denborarekiko funtzioa. Aurreko ekuazioan Laplaceren transformatua aplikatuz$$I(s)=C(sV(s)-V_{0})$$lortzen dugu, non$${\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\\V_{0}&=v(0).\end{aligned}}$$${\textstyle V(s)}$ bakantzen badugu,$$V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.$$Inpedantzia konplexua ${\textstyle Z(s)}$ funtzioaren bidez adieraziko dugu. Hain zuzen ere, inpedantzia konplexuaren definizioa (ohm unitatetan) potentzial diferentzia eta korronte elektrikoaren arteko zatiketa da; hau da,$$Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.$$Inpedantzia konplexuaren definizioan ${\textstyle V(s)}$ aurreko ekuaziotik ordezkatuz,$$Z(s)={\frac {1}{sC}}.$$Azken ekuazio hau guztiz erabilgarria da kondentsadore baten inpedantzia konplexua kalkulatzeko.

Cauchyren problema baten ebazpena

Demagun honako Cauchyren problemaren soluzioa aurkitu nahi dugula, alegia, ekuazio diferentzial baten soluzioa aurkitu, hasierako balioak emanda.

$y''+4y=0,$

$y(0)=1,\quad y'(0)=3$.

Egia esan, ekuazio diferentzialen teoria erabiliz, problema honen soluzioa aurkitu daiteke. Hala ere, Laplaceren transformatuaren teoria erabiliz, prozesua nahiko azkartu daiteke. Ekuazioaren transformatua eginez, hauxe lortzen dugu:$$0=s^{2}Y-sy(0)-y'(0)+4Y=(s^{2}+4)Y-s-3.$$${\textstyle Y}$ bakanduz, hauxe lortzen dugu:$$Y(s)={\frac {s+3}{s^{2}+4}}.$$Ohartu izendatzailea sinu edo kosinu itxurakoa dela; beraz, zenbakitzailean aldaketa batzuk egin beharko ditugu. Zatiketa banatu dezagun bi batugaitan:$$Y(s)={\frac {s}{s^{2}+4}}+{\frac {3}{s^{2}+4}}.$$Lehenengo batugaia argi ikusten da ${\textstyle cos2t}$ funtzioaren transformatua dela. Bigarren batugaiaren zenbakitzailean 2 bat izango bagenu, ${\textstyle sin2t}$ funtzioaren transformatua izango genuke. Hau konpontzeko, zatiketa biderkatu eta zatituko dugu 2 zenbakiarekin:$${\frac {3}{s^{2}+4}}={\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {2}{s^{2}+4}}{\biggr )}.$$Ondorioz, hasierako problemaren soluzioa hauxe da:$$y(t)={\mathcal {L}}^{-1}{\biggl [}{\frac {s}{s^{2}+4}}+{\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {2}{s^{2}+4}}{\biggr )}{\biggr ]}=\cos {2t}+{\frac {3}{2}}\sin {2t}.$$

Frakzio sinpletako deskonposaketa

Kontsidera dezagun denborarekiko independentea den sistema, honako transferentzia funtzioarekin:$$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.$$Pultsu erantzuna aurreko transferentzia funtzioaren Laplaceren transformatuaren alderantzizko funtzioa da:$$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.$$Funtzio honen adierazpena aurkitzeko lehenik eta behin ${\textstyle H(s)}$ funtzioa berridatziko dugu frakzio sinpletako deskonposaketa eginez,$${\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.$$${\textstyle P}$ eta ${\textstyle R}$ konstante ezezagunak transformatua-funtzioko hondarrak dira. Cauchyren hondarraren teoremak esaten du Laplaceren transformatuaren alderantzizkoa soilik dagoela poloen eta haien hondarren menpe. ${\textstyle P}$ hondarra aurkitzeko, biderka dezagun berdintza ${\textstyle s+\alpha }$ baturaz:$${\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.$$Egiten badugu ${\textstyle s=-\alpha }$ aldagai aldaketa, hauxe lortzen dugu:$$P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.$$Antzeko modu batean, aurkitzen dugu ${\textstyle R}$ hondarra:$$R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.$$Ohartu honako berdintza betetzen dela:$$R={-1 \over \beta -\alpha }=-P$$Eta, beraz, ${\textstyle P}$ eta ${\textstyle R}$ ordezkatzen baditugu ${\textstyle H(s)}$ funtzioan, honako hau daukagu:$$H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).$$Azkenik, linealtasunaren propietatea erabiliz eta esponentzial negatiboaren transformatua aplikatuz, lortzen dugu ${\textstyle H(s)}$ funtzioaren alderantzizko Laplaceren transformatua:$$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right).$$Lortu dugun funtzioa, lehen esan dugun bezala, sistemaren pultsu-erantzuna da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q199691
• Multimedia: Laplace transformation / Q199691