Semi-martingale

En mathématiques, plus précisément en calcul stochastique, une semi-martingale est un processus stochastique à valeurs réelles qui peut s'écrire comme la somme d'une martingale locale et d'un processus à variation finie dont les trajectoires sont des fonctions càdlàg.

Ce type de processus trouve son intérêt dans la construction d'intégrales stochastiques, puisque les semi-martingales forment la classe la plus large de processus stochastiques pour lesquels l'intégrale d'Itō et l'intégrale de Stratonovich sont bien définies.

Définition

On se place dans un espace de probabilité filtré $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} )$ tel que la filtration $({\mathcal {F}}_{t})$ est continue à droite et complète (c'est-à-dire telle que ${\mathcal {F}}_{0}$ contient tous les ensembles négligeables sous $\mathbb {P}$).

Une semi-martingale (resp. continue) est un processus $(X_{t})_{t\geq 0}$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ qui s'écrit sous la forme

$$X_{t}=X_{0}+M_{t}+V_{t}$$

où

1. $(M_{t})_{t\geq 0}$ est une martingale locale (resp. continue);
2. $(V_{t})_{t\geq 0}$ est un processus adapté à variation finie dont les trajectoires sont càdlàg (resp. continues);
3. $M_{0}=V_{0}=0$ et $X_{0}$ est ${\mathcal {F}}_{0}$-mesurable.

Dans le cas continu, cette décomposition est unique à indistinguabilité près, puisqu'une martingale locale (continue) à variation finie est presque sûrement constante.

Exemples

Les processus suivants sont des semi-martingales :

• Le mouvement brownien.
• Les processus de Lévy et les processus d'Itō.
• Les martingales, surmartingales et sousmartingales continues.
• Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semimartingale » (voir la liste des auteurs).

• (en) Jean-François Le Gall, Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus, vol. 274, Springer International Publishing, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2016 (ISBN 978-3-319-31088-6 et 978-3-319-31089-3, DOI 10.1007/978-3-319-31089-3, lire en ligne).