Téglalap

Téglalap

A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. Két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, ezért minden téglalap egyben paralelogramma is. A négyzet a téglalap egy speciális típusa, amelynek minden oldala egyenlő. A téglalap belső szögeinek összege 360°. Mivel a szemközti szögeinek összege 180°, ezért a téglalap egyúttal húrnégyszög is.

1. Az oldalakat az ábécé kisbetűivel szokás elnevezni: a, b.
2. Területe a két oldal szorzata:

$T=a\cdot b$

Kerülete az oldalak hosszának összege:

$K=a+b+a+b=2a+2b=2(a+b)$

Két átlója egyenlő hosszúságú, és a felezőpontjuknál metszik egymást. Az átlók hossza a Pitagorasz-tétellel számítható ki: ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Arany téglalapoknak nevezik azokat a téglalapokat, melyekre ${\frac {a}{b}}\,=\,{\frac {b}{a-b}}$.

A topológiában a téglalap egy csúcsokkal és élekkel bíró sokaság.

Elnevezései

• Régies magyar elnevezése téglány.
• Az oblongum elnevezés a görög ετερομηκες („eltérő hosszúságok”) szóból ered, ami Eukleidész Elemek című művében szerepel.

Tulajdonságok

• Konvex
• Minden szöge egyenlő: derékszög, tehát egyenlő szögű sokszög
• Mindkét átlója ugyanolyan hosszú
• Az átlók felezik egymást. Az átlók felezőpontja a körülírt kör középpontja.
• Duális sokszöge rombusz
• Tükörszimmetrikus az oldalfelező merőlegesekre. A két szimmetriatengely merúőleges egymásra.
• Szimmetriacsoportja a Klein-csoport.
• Paralelogramma:
  • Szemben fekvő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak
  • Középpontosan szimmetrikus

A téglalap jellemezhető, mint:

• Derékszögű paralelogramma
• Paralelogramma egyenlő hosszú átlókkal
• Négyszög egyenlő hosszú átlókkal, melyek felezik egymást
• Négyszög, melynek szemben fekvő oldalpárjai egyenlő hosszúak, és van derékszöge

Képletek

A téglalap területe megegyezik oldalainak szorzatával

Mathematische Formeln zum Rechteck
Terület	$A=a\cdot b$
Kerület	$U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)$
Átlók	$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Körülírt kör sugara	$r_{u}={\tfrac {d}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Belső szögek	$\alpha =\beta =\gamma =\delta =90^{\circ }$

Optimalizációs feladatok

Különböző optimalizációs feladatok vannak a téglalapokhoz. Keresünk egy téglalapot, amihez:

• adott átlóhosszal vagy adott területű körülírt körrel a minimális kerületű
• adott átlóhosszal vagy adott területű körülírt körrel a maximális területű
• adott kerülettel az átlók hossza minimális vagy a körülírt kör területe minimális
• adott kerülethez a maximális terület
• adott területhez minimális hosszúságú átlók vagy a minimális területű körülírt kör
• adott területhez minimális terület

Ezeknek a feladatoknak mindig a négyzet a megoldása.

A feladatok közül több ugyanazt fogalmazza meg más mennyiségekkel, így visszavezethetők három optimalizációs problémára: az átlók hossza és a körülírt kör területe nyilván ugyanazzal a megoldással bír, mivel a körülírt kör területe $\pi \cdot r_{u}^{2}={\frac {1}{4}}\cdot \pi \cdot d^{2}$ folytonos, szigorúan monoton növő függvény a $d$ változóban.

Téglalap átlóhosszakkal és a d átlóval

Például ha adva van a $d$ átló, és keressük a legnagyobb területű ABCD téglalapot, akkor segít a körülírt kör. Az AC átló Thalész tétele szerint a körülírt kör átmérője.

A téglalap felosztható ABC és CDA háromszögekre. Az ABC háromszög területe akkor a legnagyobb, ha a B pont az AC oldalon a legmagasabban áll. Ez pontosan akkor történik, ha az AB és BC oldalak hossza egyenlő, tehát a háromszög egyenlő szárú is. Ugyanígy a CDA háromszög területe pont akkor a legnagyobb, hogyha a CD és a DA oldalak egyenlő hosszúak. Tehát az ABCD téglalap területe akkor a legnagyobb, ha négyzet.

Egy másik lehetőség a terület becslése egyenletekkel.

Egy $a$ és $b$ oldalú téglalap átlójának hossza ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, területe $a\cdot b$. Az ${\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}}}$ oldalú négyzet átlójának hossza ugyanez, és területe ${\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}$. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség ${\sqrt {a\cdot b}}\leq {\frac {a+b}{2}}$ miatt $a\cdot b\leq {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}$ minden pozitív $a$ és $b$ oldalhosszra, és egyenlőség csak akkor teljesül, ha $a=b$. Ebből következik, hogy a legnagyobb területű téglalap a négyzet.

Mértékelmélet

A mértékelmélet elterjedt felépítésében a koordinátatengelyekkel párhuzamos élű téglalapok fontos szerephez jutnak, ugyanis az ő mértéküket (területüket) definiálják először, és csak aztán terjesztik ki a fogalmat más síkidomokra.

Parkettázások

A sík többféleképpen is parkettázható téglalapokkal:

Halszálkaminta

Téglalaprács

Téglalaprács

A téglalaprács végtelen számú pont elrendezése a kétdimenziós euklideszi síkon. Ez a ponthalmaz leírható

$\left\{(a\cdot x_{1},b\cdot x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid a,b>0\ \land \ x_{1}\in \mathbb {Z} \ \land \ x_{2}\in \mathbb {Z} \right\}$

halmaz alakba írható, ahol az $a$, $b$ pozitív valós számok a szomszédos pontok közötti távolság. A téglalaprács két affin nyújtással keletkezik négyzetrácsból.

Ez a téglalaprács tengelyesen szimmetrikus, forgásszimmetrikus, és pontra tükrözésre szimmetrikus, továbbá eltolásszimmetrikus bizonyos hosszúságú vektorokra, melyek párhuzamosak a két koordinátatengely irányába: $a\cdot a_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}$, $b\cdot a_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}$, ahol $a_{1}$, $a_{2}$ egész számok és $e_{1}$, $e_{2}$ a két egységvektor a két egységvektor a kétdimenziós euklidészi vektortérben.

Ha egy geometriai alakzatot négyzetrácsra helyeznek, és azzal együtt transzformálják úgy, hogy különböző irányokba különböző nyújtást alkalmaznak, akkor a következő geometriai alakzatok keletkezhetnek:

Geometriai alakzatok párhuzamos nyújtása
Négyzetrácsban	A transzformált rácsban
	merőleges irányokban	tetszőleges irányokban
Négyzet	Téglalap	Paralelogramma
Téglalap	Téglalap	Paralelogramma
Rombusz	Rombusz	Paralelogramma
Paralelogramma		Paralelogramma
Derékszögű háromszög	Derékszögű háromszög	Háromszög
Egyenlő szárú háromszög	Egyenlő szárú háromszög	Háromszög
Kör	Ellipszis	Ellipszis
Ellipszis	Ellipszis	Ellipszis

Arany téglalap

Mindkét háromszög: – az a : b oldalarányú, illetve az (a + b) : a oldalarányú – arany téglalap

Egy arany téglalap olyan a és b oldalhosszakkal bír, hogy ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$. Az oldalak arányára az aranymetszés adódik, azaz ${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887$.

Felosztások

Ha a téglalapot felosztják, rendszerint négyzetekre, háromszögekre vagy kisebb téglalapokra osztják fel. Ezen kívül még foglalkoztak egybevágó poliominókkal is.

32×33-as perfekt téglalap

A felosztás tökéletes (perfekt), ha véges sok darab szerepel a felosztásban, és a darabok hasonlók, de nem egybevágók. A háromszögelt téglalapban minden darabnak derékszögű háromszögnek kell lennie. Ilyen felosztást viszonylag nehéz találni: az elsőt 1925-ben fedezte fel Zbigniew Moroń. Az ő felosztásában 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 és 18 oldalhosszú négyzetek szerepelnek. Egy további példája egy 47-szer 65-ös téglalap. 10 négyzet fedi le, oldalhosszai 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 és 25.<

A téglalap oldalai akkor és csak akkor összemérhetők, ha felosztható véges sok nem egybevágó négyzetre. Ez ekvivalens azzal is, hogy a darabok különböző méretű egyenlő szárú háromszögek.

Spirálok

Egymásban fekvő spirál alakban elrendezett téglalapok

A téglalapok belsejébe is építhetők spirálok, egybevágó derékszögű háromszögekből, melyek elrendezhetők úgy, mint a képen. Az első 12 tagot színekkel ábrázoltuk. Ezáltal egymáshoz hasonló derékszögű háromszögek négy végtelen konvergens sorozata keletkezik, melyek határértéke ugyanaz a pont, és spirál alakban a teljes téglalapot kitöltik. A háromszögek területe a nullához tart.

Ha az eredeti téglalap oldalhosszai a és b, akkor a spirálok területe ${\tfrac {1}{4}}ab$.

További információk

• Weisstein, Eric W., "Rectangle", MathWorld
• Definíció és tulajdonságok interaktív animációval
• A téglalap területe interaktív animációval
• Császár Ákos: Valós analízis

Kapcsolódó szócikkek

• Négyzet
• Téglalapszámok

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rechteck című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.