今週のフラクタル77　((-|x-y|(x+y)+a,2xy+b))

どうも、108Hassiumです。

今回は$${(-|x-y|(x+y)+a,2xy+b)}$$に関するフラクタル図形をお届けします。

(-|x-y|(x+y)+a,2xy+b)

以前「続・バーニングシップフラクタルと仲間たち」で紹介したマンデルブロ集合です。

なんとなく北海道に似ている気がします。

ジュリア集合は斜めの線対称軸を1本だけ持つようです。

バーニングシップ系で対称軸が1本しかない関数といえば$${(x^2-y^2+a,-2|x|y+b)}$$などがありますが、ジュリア集合の形状もモノによっては似ているような気がします。

※☟$${(x^2-y^2+a,-2|x|y+b)}$$の記事

いつものです。

黒領域のあるジュリア集合です。

分割

$${(-|x-y|(x+y)+a,2xy+b)}$$のマンデルブロ集合をよく見てみると、右上のあたりの形状は$${\text{con}(z)^2+c}$$のマンデルブロ集合(の左右反転)に、左下のあたりは$${z^2+c}$$に似ているように見えます。

実は$${(-|x-y|(x+y)+a,2xy+b)}$$という関数は、複素関数として見ると「$${x< y}$$のときは$${z^2+c}$$、それ以外は$${-\text{con}(z)^2+c}$$」という関数になっています。

※私が使用している描画プログラムでは、y軸は「下が+」になっています。

この性質がマンデルブロ集合の見た目と関係があるのかというのは結構難しい話っぽいのですが、それはそうとこの話は今まで紹介してきたバーニングシップ系の関数ほぼ全部に関係があります。

「バーニングシップフラクタルと仲間たち」で紹介した関数は、実は$${(-|x-y|(x+y)+a,2xy+b)}$$と同じように「$${\pm z^2+c}$$と$${\pm\text{con}(z)^2+c}$$を切って繋ぎ合わせた関数」になっています。

という訳で、どの関数がどんな関数の組み合わせかなのかがわかる図を作ってみました。