2025年 海城中学校 "場合の数"

問題
A, B, C, D, E の5つの文字を一行に並べて、それらの間の4か所に + か × の記号を1つずつ入れます。例えば、5つの文字を左から B, E, D, A, C の順に並べ、それらの間に ×, +, ×, × を入れると、
B × E + D × A × C  ・・・ ①
となります。

(1) 5文字の間4か所に、 + を1個、 × を3個入れるとき、文字と記号の並べ方は何通りですか。
(2) 5文字の間4か所に、 + を2個、 × を2個入れるとき、文字と記号の並べ方は何通りですか。

次に、並べたものを式として考えます。かけ算は順序を入れかえても計算した結果は変わらないことから、例えば、
E × B + D × A × C  や  E × B + C × A × D  など
は①と同じ式と考え、これらを区別しません。また、足し算よりかけ算を先に計算することと、足し算の順序を入れかえても計算結果は変わらないことから、例えば、
D × A × C + B × E  や  C × A × D + E × B  など
は①と同じ式と考え、これらを区別しません。

(3) 5文字の間4か所に、 + を1個、 × を3個入れるとき、式は何通りできますか。
(4) 5文字の間4か所に、 + を2個、 × を2個入れるとき、式は何通りできますか。

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解き方