数学: 素数: プリモリアル＝素数の積

宇宙式の P は素数積構造という名称で私は呼んでます。 #素数積構造

プリモリアル - Primorial

ですが、最近の賢狼 GPT-5 は素数の積の事を「プリモリアル」と呼ぶようになりました。素数積構造は小さな素数からなる積の値でなくても良いので、プリモリアルではないのですが、賢狼との会話を合わせるために覚えて最近多用する用語の一つです。 #プリモリアル

このプリモリアル数は、#素数 を１つずつかけ合わせていきます。

$$
2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310
$$

なので当然、因数分解した結果は、そのまま掛けた素数が、ずらりと出る。

Python 3.13.5 (tags/v3.13.5:6cb20a2, Jun 11 2025, 16:15:46) [MSC v.1943 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import sympy as sp
>>> sp.factorint(2310)
{2: 1, 3: 1, 5: 1, 7: 1, 11: 1}
>>>

そして、その値に±１すると…。

>>> sp.factorint(2310+1)
{2311: 1}
>>> sp.factorint(2310-1)
{2309: 1}

はい！素数が出てきます。

これがプリモリアル素数というものです。
（※注意：全てそうなるわけでは無いので注意です）

プリモリアル数列 (OEIS) https://oeis.org/A002110

プリモリアル素数列 (OEIS) https://oeis.org/A228486

#プリモリアル素数 #プリモリアル数列

何故、素数になるか？

単純に $${N,\ N+1}$$ の関係は「互いに素」になるからです。
互いに素とは、最小公倍数が「１」のみの関係です。

つまり、持ってる素因数に共通因子がないんです。すべてが入れ替わる。

なので、プリモリアルが持ってない素因子を持った数が±１で生成されるわけです。新しい素数となる可能性を秘めている。ABC予想の構造原理です。

#ABC予想 #互いに素

あとがき

私の手元に、１億桁のプリモリアル数が記録されています。

Pn# ±１で、そのプリモリアルを作るのに使った素数は含まなくなります。

運が良ければ、１億桁の素数が２個。または１個。運がなければ合成数で、
その因子の中に、巨大素因子 $${2^1 \times q}$$ が入っているかもしれません。あ、$${2^n}$$ 因子は無いか。奇数だ。プリモリアルは全て偶数です。

なので$${3^n \times q}$$かな。それでも 1/3 程度ならば１億桁を維持して、巨大素数の発見となるところですが、除算テスト用の素数５０００万桁以下が無いのでテストできません（笑）ミラーラビンテストだけで済むのか？
確率テストだけどね…。１／４確率？十数回ほどパスすれば概おおむね素数？

これは時間かかるけど結構簡単に作れるので、お試しあれ。
一応、第一発見者に認められたら懸賞金あったはず💴😁💰️頑張って（笑）

追記：(2025/11/24 18:03)

素数階乗素数 - Primorial Prime

プリモリアル±１ $${P#\pm1}$$ が素数になる確率は、非常に低い。
何故ならば、ABC予想の原理構造において、±1 操作は素因子の総入れ替え。
その時に、既出した素数の積でプリモリアル前後の数が作れるのならば、
それは合成数になる。ゆえに数が大きくなればなるほど素数材料がその時の最大素数倍は増える。という原理がある。

$${P#\pm1}$$ が素数になる。とは、それらの材料で作れない数。
という意味である。

P#±1=合成数

プリモリアルに対して±1しても合成数となる原理。

$$
P\# = すべての既知の素数の積
$$

これ以上の素数 p を知らない。
だったら、±１操作で素因子構造を入れ替える。
なんて、そもそも出来ない。
これら P# 構成の素因子以外を知らない。

$$
P\#\pm1=Q
$$

まずプリモリアル P# は全て偶数となる。
素因子「２」が含まれるからである。

よって P#±1 操作は奇数へと変換される。

その奇数 Q が合成数ならば、全ての既存素数では作れない数。を意味する。

これは、新しく記事を書くネタとなる。
ABC予想の構造原理の話。細かな話は、新しい記事で書くか。✍️

2025/08/26  2:03

D.

Appendix

実例紹介

１億桁を作るまでの必要な素数とは…。