DkMath 入門 第2章. Body の差分構造 GN は何を見せるか

以下の記事の続きです。

第1章

では、細かい解説は🐺賢狼に任せる！

DkMath 入門 第2章. Body の差分構造 GN は何を見せるか

0. この章で学ぶこと

前の章では、次の 4 つの言葉を導入した。

$$
\mathrm{Big}_d(x,u):=(x+u)^d
$$

$$
\mathrm{Gap}_d(u):=u^d
$$

$$
\mathrm{Body}_d(x,u):=(x+u)^d-u^d
$$

そして、

$$
(x+u)^d-u^d=x\cdot GN_d(x,u)
$$

を満たす $${GN_d(x,u)}$$ を定義した。

この章では、次の問いを考える。

答えを先に言えば、GN は Body の断面 を見せてくれる。

1. Body はただの「余り」ではない

まず、Body をもう一度見る。

$$
\mathrm{Body}_d(x,u)=(x+u)^d-u^d
$$

これは、Big から Gap を取り除いた残りである。

しかし、この残りはただの余りではない。
二項展開を使うと、

$$
(x+u)^d = u^d+\binom d1xu^{d-1}+\binom d2x^2u^{d-2}+\cdots+x^d
$$

となる。

ここから $${u^d}$$ を引くと、

$$
(x+u)^d-u^d = \binom d1xu^{d-1}+\binom d2x^2u^{d-2}+\cdots+x^d
$$

右辺のすべての項に $${x}$$ が入っている。

だから、必ず

$$
(x+u)^d-u^d=x\cdot GN_d(x,u)
$$

と書ける。

つまり Body は、必ず $${x}$$ という共通の幅を持っている。資料でも、差冪構造 $${(x+u)^d-u^d}$$ は常に $${x}$$ で割り切れ、その商が $${GN_d(x,u)}$$ で与えられると整理されておる。

2. x は「厚み」、GN は「断面」

ここで、式をこう読む。

$$
\mathrm{Body}=x\cdot GN
$$

これは、

$$
\text{Body の量} = \text{厚み}
\times
\text{断面}
$$

という意味に見える。

たとえば、長方形の面積が

$$
\text{面積}=\text{横幅}\times\text{縦の長さ}
$$

で表されるように、Body も

$$
x\cdot GN_d(x,u)
$$

として表される。

このとき、

$$
x
$$

は Body に共通して入っている 境界の厚み 。

そして、

$$
GN_d(x,u)
$$

は、その厚みを取り除いた後に見える 断面の中身 である。

この章では、これを次のように言うことにする。

3. d=2 の場合. 面積の断面を見る

まず $${d=2}$$ で考える。

$$
(x+u)^2-u^2
$$

を展開すると、

$$
(x+u)^2-u^2=x^2+2xu
$$

これを因数分解すると、

$$
(x+u)^2-u^2=x(x+2u)
$$

したがって、

$$
GN_2(x,u)=x+2u
$$

である。

図形として読む

$${(x+u)^2}$$ は、一辺 $${x+u}$$ の大きな正方形の面積である。

その中から、小さな角の正方形

$$
u^2
$$

を取り除くと、L 字型の Body が残る。

その Body の面積は、

$$
x^2+2xu
$$

である。

しかし、これはさらに

$$
x(x+2u)
$$

と書ける。

つまり L 字型の Body は、面積として見ると、

$$
\text{幅 }x
\quad\times\quad
\text{長さ }(x+2u)
$$

に変形して読める。

ここで、

$$
GN_2(x,u)=x+2u
$$

は、Body を幅 $${x}$$ で見たときの 有効な長さ である。

まとめ

$$
\mathrm{Body}_2=x\cdot GN_2
$$

$$
GN_2(x,u)=x+2u
$$

つまり $${d=2}$$ では、GN は 面積 Body の長さ方向の断面 を見せている。

4. d=3 の場合. 体積の断面を見る

次に $${d=3}$$ を考える。

$$
(x+u)^3-u^3
$$

を展開する。

$$
(x+u)^3-u^3=x^3+3x^2u+3xu^2
$$

右辺のすべての項に $${x}$$ が入っているので、

$$
(x+u)^3-u^3=x(x^2+3xu+3u^2)
$$

したがって、

$$
GN_3(x,u)=x^2+3xu+3u^2
$$

である。

立体として読む

$${(x+u)^3}$$ は、一辺 $${x+u}$$ の大きな立方体の体積である。

そこから、小さな立方体

$$
u^3
$$

を取り除く。

残った Body は、

$$
x^3+3x^2u+3xu^2
$$

という体積を持つ。

これを

$$
x(x^2+3xu+3u^2)
$$

と書くと、Body は

$$
\text{厚み }x
\quad\times\quad
\text{断面 }(x^2+3xu+3u^2)
$$

として見える。

つまり、

$$
GN_3(x,u)=x^2+3xu+3u^2
$$

は、三次元 Body から厚み $${x}$$ を取り除いた 二次元的な断面 である。

5. GN は次元を一段下げる

ここで、重要な見方が出てくる。

$$
\mathrm{Body}_d(x,u)
$$

は $${d}$$ 次の量である。

しかし、

$$
\mathrm{Body}_d(x,u)=x\cdot GN_d(x,u)
$$

と見ると、$${x}$$ を 1 つ外している。

そのため、$${GN_d(x,u)}$$ はおおよそ $${d-1}$$ 次の量になる。

たとえば、

$$
d=2
$$

では、Body は面積であり、GN は長さのように見える。

$$
d=3
$$

では、Body は体積であり、GN は面のように見える。

したがって、GN は次のような役割を持つ。

$$
d\text{ 次の Body}
\quad\longrightarrow\quad
(d-1)\text{ 次の断面}
$$

これが GN の第一の意味である。

6. Body の中には Core と Beam がある

ここで、Body をさらに分ける。

Body の中で、中心にある純粋な部分を

$$
\mathrm{Core}_d(x):=x^d
$$

と呼ぶ。

そして、Body から Core を除いた残りを Beam と呼ぶ。

$$
\mathrm{Beam}_d(x,u):=\mathrm{Body}_d(x,u)-\mathrm{Core}_d(x)
$$

つまり、

$$
\mathrm{Body}=\mathrm{Core}+\mathrm{Beam}
$$

である。

宇宙式の質量保存 API でも、$${\mathrm{Big}=\mathrm{Body}+\mathrm{Gap}}$$、さらに $${\mathrm{Body}=\mathrm{Core}+\mathrm{Beam}}$$ という分解を保存則として扱う計画が示されておる。

d=3 で見る

$$
\mathrm{Body}_3=x^3+3x^2u+3xu^2
$$

このうち、

$$
x^3
$$

が Core である。

残りの

$$
3x^2u+3xu^2
$$

が Beam である。

したがって、

$$
\mathrm{Body}3 = \underbrace{x^3}{\mathrm{Core}} + \underbrace{(3x^2u+3xu^2)}_{\mathrm{Beam}}
$$

である。

ここで $${x}$$ をくくり出すと、

$$
GN_3=x^2+3xu+3u^2
$$

となる。

つまり GN の中にも、

$$
x^2
$$

という Core の断面と、

$$
3xu+3u^2
$$

という Beam の断面が現れる。

GN は、Body の中で Core と Beam がどう混ざっているかを見せる。

7. GN は「割り切れ方」を見せる

GN の第二の意味は、数論的な意味である。

$$
\mathrm{Body}=x\cdot GN
$$

だから、Body の因数は大きく 2 つに分けられる。

$$
x\text{ 由来の因数}
$$

と、

$$
GN\text{ 由来の因数}
$$

である。

これは、Body が平方数や立方数になるかどうかを調べるときに重要になる。

たとえば Body が完全な立方数になっているかを調べたいとする。
そのとき、$${x}$$ だけを見ても十分ではない。

$$
GN_d(x,u)
$$

の中にどんな因数があるかを見なければならない。

資料でも、一般化 GN 多項式は、差冪構造の高次境界因子分解や Beam 構造の層的分解を与え、可除性・p進付値・原始素因子解析で基本的な役割を持つとまとめられておる。

生徒向けに言うなら

GN は、

である。

8. 一般化. さらに深い Tail へ

ここまでは、Body から $${x}$$ を 1 つ取り出した。

これは $${r=1}$$ の場合である。

しかし、もっと深く見ることもできる。

二項展開の最初の $${r}$$ 層を取り除くと、残りには必ず $${x^r}$$ が現れる。

その形は、

$$
(x+u)^d-
\sum_{j=0}^{r-1}\binom dj x^j u^{d-j} = x^rGN^{(r)}_d(x,u)
$$

である。

ここで $${GN^{(r)}_d(x,u)}$$ は、$${r}$$ 層を取り除いた後に残る Tail の中身である。資料でも、$${GN^{(r)}_d}$$ は先頭 $${r}$$ 層の Beam を除去した残余構造であり、$${r}$$ は削除された層数かつ境界因子の次数を表す、と解釈されておる。

つまり、

$$
x^r
$$

は、深く剥がしたことで露出した境界である。

そして、

$$
GN^{(r)}_d(x,u)
$$

は、その奥に残る内部構造である。

9. この章のまとめ

GN が見せるものは、次の 4 つである。

この章の中心式は、これである。

$$
\mathrm{Body}_d(x,u)=x\cdot GN_d(x,u)
$$

そして、この式の読み方はこうである。

10. 練習問題

問 1

$$
(x+u)^2-u^2
$$

を展開し、$${x}$$ でくくり出しなさい。

また、

$$
GN_2(x,u)
$$

を求めなさい。

問 2

$$
(x+u)^3-u^3
$$

を展開し、$${x}$$ でくくり出しなさい。

また、

$$
GN_3(x,u)
$$

を求めなさい。

問 3

$$
x=2,\quad u=1
$$

のとき、

$$
\mathrm{Body}_3(x,u)
$$

と

$$
GN_3(x,u)
$$

を計算しなさい。

問 4

次の式で、Core と Beam をそれぞれ答えなさい。

$$
(x+u)^3-u^3=x^3+3x^2u+3xu^2
$$

11. 章末の言葉

Big から Gap を引くと Body が見える。

Body から $${x}$$ をくくり出すと GN が見える。

GN は、Body の断面であり、内部構造であり、割り切れ方を調べる入口である。

つまり GN は、Body をただの残りから、調べられる構造へ変える。

この見方を手に入れると、次は二項展開を一枚ずつ剥がす Tail 構造へ進める。
そこでは、

$$
x,\quad x^2,\quad x^3,\quad \ldots
$$

という境界が、層として次々に現れてくる。

図解

2026/05/07 14:58

D.

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