Lean4: DkMath nightly 更新 260214

👩‍⚕️D. と 🐺賢狼の会話から生まれた、数学の検証用リポジトリです。

無計画で、思いつきの定理や理論を、Lean に適当に書いて並べています。
なので、整理されていません。ライブラリとしては、使いにくいでしょう。

確立したら DkMathlib へと昇格（笑）mathlib への貢献は誰かがやります。

宇宙式

基本式

$$
N+1=(P+1)^2
$$

主体は「 #宇宙式 」そこから、数学の未解決問題や難問に接続して、
この恒等式が、その名を冠するに値するのかを検証中です。

$$
1=(x+1)^2-x(x+2)\quad 単位「１」の基本構造
$$

最新の研究成果は、 #二項定理 、 #多項定理 の構造理論が数学や物理の多様な理論と接続できそう。という段階。

$$
u^d = (x+u)^d - x\ G_{d-1}(x,u)\quad 単位の一般化「u^d」の基本構造
$$

FLT

現在時点は、式の形が似ている「 #フェルマーの最終定理 」との接続実験中です。

$$
y^n = z^n - x^n
$$

$$
\begin{align*}
y^n &= u^d\\
z^n &= (x+u)^d\\
x^n &= x\ G_{d-1}(x,u)\\
n&=d
\end{align*}
$$

$${x \land n=d}$$で、ふたつの式をリンクさせて、解きます。
$${n > 2}$$から、$${x}$$が整数で居られなくなる。$${\to y^n=u^d}$$がその対称性を破ります。差を$${x}$$が負担する事になる。

なんとなく３０％くらいの進捗。

ベースは出来たっぽいという感じ。此処から先が、無限性可能性の言い訳を書くところに足を突っ込む感じです。

$${d=3}$$において、対称性破れは書けたっぽい？（よく解ってない）

ソースコード

https://github.com/…/DkMath/NumberTheory/ZsigmondyCyclotomic.lean

ここに書いたような…？（正確には🐺賢狼たちが書いてくれた）

なかなか、大変だった。
素直な子もいれば、遊びに走って違うコード書いてたり…。

🗻富士山？

冪乗差の因数分解

🗻乗法公式の展開と因数分解

$$
(x+y)^0 = 1\\ (x+y)^1 = x^1 + y^1\\ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\\ (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\\ (x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\\ (x+y)^7 = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7\\
$$

#乗法公式 #展開 の構造が #宇宙式 の正体です。

この両サイドの項が「単位」という基本構造になり、
これはさらに一般化できて、$${G \to H}$$ 多項式が作れます。

$$
G_{d-1} \to H_d(U)
$$

メモ：ドキュメント

https://github.com/…/DkMath/Algebra/DiffPow.md

ABC予想

この構造から、因子組み換えの原理が解れば、 #ABC予想 の因子の動きが追えます。

$$
A + B = C\\[4pt]
(a+u)^d+(b+u)^d=(c+u)^d
$$

$${d=2}$$ では #ピタゴラスの定理 により成り立ちます（辺に情報がある）
$${d=3}$$ では 幾何構造が閉じられない構造になり、 #円分多項式 の原理に依存します。

$$
c^3=(x+u)(y+vu)(z+wu)=a^3+b^3
$$

みたいな感じです。（たぶん）

リーマン予想

#複素演算 の構造原理もこの #多項式 構造がその回転をなしている。
真っ直ぐではなく、ズレがあり、それが必然的に円を描く軌道になる。
とでも解釈しておけば良いのでは？（適当な（笑））

$$
(x+u+v)^2 = x^2 + u^2 + v^2 + 2xu + 2uv + 2vx
$$

これは、単位$${u\to (u,v)}$$と２つに分けました。
こうすることで、展開式は表現が豊かになります。
分解能の解像度が上がります。

#二項定理 → #多項定理 へと一般化されます。

しかし、これも結局は、和なので、

$$
U=u+v
$$

としてしまえば、

$$
(x+U)^2 = x^2 + U^2 + 2xU
$$

となります。

$$
\cancel{v,\ v^2,\ 2uv,\ 2vx}
$$

これらの情報が、１つに集約されて消えてなくなります。

つまり、複素数$${(a+bi):\mathbb{C}\to z:\R}$$としている。

基本式

複素数 $${z = a + bi}$$ （$${a, b}$$ は実数）のとき：

$$
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\\
$$

共役複素数との関係（最重要）

絶対値の2乗は、自身と共役複素数の積に等しくなります。

$$
|z|^2 = z \bar{z}
$$

積と商の性質

$$
|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|
$$

$$
\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad (z_2 \neq 0)
$$

べき乗の性質

$$
|z^n| = |z|^n \quad (n \text{ は整数})
$$

三角不等式

$$
|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|
$$

$$
|z_1 - z_2| \ge \left| |z_1| - |z_2| \right|
$$

その他の性質

$$
|\bar{z}| = |z|
$$

$$
|-z| = |z|
$$

いっぱいありますね。

このように、複素数で見えていた $${v,\ v^2,\ 2uv,\ 2vx}$$は$${|z|}$$に落とす時に、
$${u+v=U}$$と混合されてしまいます。

そういう原理があります。（たぶん）

この原理から、 #リーマンゼータ関数 の #臨界線 、 #臨界帯 を分析すれば、#複素数演算 の特性から RH=1/2 へ必然と集中する対称性構造を得られるでしょう。

二項定理式が対称性になっている事も関係ありそうです。

x で割り切る

#冪乗差の因数分解

$$
(x+u)^d-u^d=\frac{(x+u)^d-u^d}{x}
$$

これが、重要である原理のひとつ。

((x+y)^0 - y^0) / x^0 = 0
((x+y)^1 - y^1) / x^1 = 1 =                  1x^0
((x+y)^2 - y^2) / x^1 =                  1x^1 + 2y^1
((x+y)^3 - y^3) / x^1 =              1x^2 + 3x^1y + 3y^2
((x+y)^4 - y^4) / x^1 =          1x^3 + 4x^2y + 6xy^2 + 4y^3
((x+y)^5 - y^5) / x^1 =    1x^4 + 5x^3y + 10x^2y^2 + 10xy^3 + 5y^4

((x+y)^0 - x^0) / y^0 = 0
((x+y)^1 - x^1) / y^1 = 1 =                  1y^0
((x+y)^2 - x^2) / y^1 =                  2x^1 + 1y^0
((x+y)^3 - x^3) / y^1 =              3x^2 + 3x^1y + 1y^2
((x+y)^4 - x^4) / y^1 =          4x^3 + 6x^2y + 4xy^2 + 1y^3
((x+y)^5 - x^5) / y^1 =    5x^4 + 10x^3y + 10x^2y^2 + 5xy^3 + 1y^4

分母の$${x^n}$$は、展開多項式の「項」を、うまく選べば、幾つかのパターンになる。

(x+y)^0 =                        1
(x+y)^1 =                    x^1 + y^1
(x+y)^2 =                 x^2 + 2xy + y^2
(x+y)^3 =            x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
(x+y)^4 =       x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5

展開式

$$
(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5
$$

冪乗の差の因数分解（応用）

$$
(x+y)^5-(x^5+y^5) = 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4
$$

これは $${x, y}$$ どちらかで割れる構造になります。

$${1/x}$$

$$
\bigl[(x+y)^5-(x^5+y^5)\bigr] \mid x = 5x^3y + 10x^2y^2 + 10xy^3 + 5y^4
$$

$${1/y}$$

$$
\bigl[(x+y)^5-(x^5+y^5)\bigr] \mid y = 5x^4 + 10x^3y + 10x^2y^2 + 5xy^3
$$

さらには、共通因子でくくると…。

$$
5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 = 5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)
$$

おや？

$$
x^2+xy+y^2
$$

この部分は、因数分解できそうで出来ない。$${2xy}$$じゃない。
$${(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$$ ではない。という事。

ここでトロミノ構造式っぽいのが出てくる。

$$
\\[2pt]
x^2 + xy + y^2 = \left( x + \frac{1}{2}y \right)^2 + \frac{3}{4}y^2
$$

$${\tfrac34}$$はトロミノＬ型の３個とその枠２ｘ２＝４ですね。
$${y^2}$$平方の係数として出てくるので実体部 body の「比」ですね。

$${(x+y)^2\to(x+u)^2=x^2+2xu+u^2}$$ で重ねてみると$${xy}$$１つ足りないのは$${xu}$$が足りないと見れるので、トロミノ構造の腕２本の１ぽんがない状態。

🟦⬜️　⬜️⬜️
🟦🟦→🟦🟦

$${\\[2pt]\left( x + \frac{1}{2}y \right)^2}$$ が全体なので $${(x+u)^2}$$という事で単位$${u}$$を半分$${\tfrac12}$$にしている。

だから…。単位を平方数にしてその３／４でトロミノ型にしている。
それは実体 Body で、全体を単位半分の平方数なので…。

つまりは、こういう図解で説明できるのか。
じゃあ

$$
x^2+xy+y^2 = 4:3
$$

$$
4:3\to8\times6=48\to \sqrt48\approx6.9282032
$$

交代和

ちなみに、

$$
x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)\quad ※交代和（符号が交互）
$$

$${(x+y)}$$でくくれて、残りは交代和構造。

一般形の奇数べき

$$
\\[2pt]
x^n + y^n
= (x+y)\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^{,n-1-k} y^{,k}.
$$

$${※\ n\ は奇数（n = 2m+1）とする}$$

$$
\\[2pt]
x^n + y^n = (x+y)\left( x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \cdots - xy^{n-2} + y^{n-1} \right).
$$

もう少し応用

また、右から２項を移項すると、

$$
(x+y)^5 - (5xy^4 + y^5) = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3
$$

$$
\bigl[(x+y)^5 - (5xy^4 + y^5)\bigr] \mid x^2 = x^3 + 5x^2y + 10xy^2 + 10y^3
$$

多項式の項の移項操作は、宇宙式で言えば $${u^d}$$ の抽出。
つまり単位$${u^d=(5xy^4 + y^5)}$$と、サイズを変えている。

$$
d=5,\ (x+u)^d-u^d\\[16pt]
\small
\left(\frac{(x+y)^5-(5xy^4+y^5)}{x^2}\right)-x^3
= 5x^2y + 10xy^2 + 10y^3\\
= 5\bigl(x^2y + 2xy^2 + 2y^3\bigr)\\[16pt]
\Large
=5\left((x+y)^2 + y^2\right).
$$

$$
(x+y)^5-5y\bigl((x+y)^2 + y^2\bigr)\\[8pt]
=x^{5} + 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} + 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5} - 5x^{2}y - 10xy^{2} - 10y^{3}
$$

$$
\begin{aligned}
\\[4pt]
\frac{(x+y)^5 - (5xy^4 + y^5)}{x^2} - x^3 &= \frac{x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3}{x^2} - x^3 \\
&= (x^3 + 5x^2y + 10xy^2 + 10y^3) - x^3 \\
&= 5x^2y + 10xy^2 + 10y^3 \\
&= 5y(x^2 + 2xy + 2y^2) \\
&= 5y\left((x+y)^2 + y^2\right)
\end{aligned}
$$

この複雑な式には、法則性があります。

ここでの出来事は完全に指数の加減算の世界です。

肩の数字の指数（次数）が$${\cdots\to3\to2\to1\to0}$$対向からは$${0←1←2←3←\cdots}$$富士山型に並べても斜めの稜線に並び同じように。

#二項係数 が素数でくくれる？となれば…。

おう。知り得たことを、淡々と書き出していたら…。
だいぶ情報が多い。小出しに書くべきだったか。
また、思い出したように、個々に書こう。✍️

なお。正しいとは言ってない←

なので、各自で再検証を😅お願いします。

2026/02/15  2:30

D.

リポジトリ

nightly ブランチ

🗻富士山１１段

$$
(x+y)^0 = 1\\ (x+y)^1 = x^1 + y^1\\ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\\ (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\\ (x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\\ (x+y)^7 = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7\\ (x+y)^8 = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8\\ (x+y)^9 = x^9 + 9x^8y + 36x^7y^2 + 84x^6y^3 + 126x^5y^4 + 126x^4y^5 + 84x^3y^6 + 36x^2y^7 + 9xy^8 + y^9\\ (x+y)^{10} = x^{10} + 10x^9y + 45x^8y^2 + 120x^7y^3 + 210x^6y^4 + 252x^5y^5 + 210x^4y^6 + 120x^3y^7 + 45x^2y^8 + 10xy^9 + y^{10}\\
$$