メモ: 宇宙式のさらなる一般化への道🍊

相対多角数より

$$
n(n+1)
$$

構造を得る

宇宙式には

$$
P(P+2)
$$

構造がある

単位宇宙式では

$$
P(P+2u)
$$

になる。

＋１や＋２が次元だとして、＋３，＋４となる一般化の道があるかも？

として、

$$
f(x;u,d) = (x+u)^2-G_d(x;u)=u^d
$$

という式を構築できるか？
単位１世界であれば、その$${u^d=1^d=1}$$である。

結論

一般化した Global 宇宙式 $${G}$$ は、

$$
f(x;u,d) =(x+u)^d - x\,G_{d-1}(x,u)=u^d
$$

f(x;u,d) =(x+u)^d - x\,G_{d-1}(x,u)=u^d

$$
G_{d-1}(x,u)=\frac{(x+u)^d-u^d}{x}
=\sum_{k=0}^{d-1}\binom{d}{k+1}u^{\,d-1-k}x^{k}.
$$

G_{d-1}(x,u)=\frac{(x+u)^d-u^d}{x}=\sum_{k=0}^{d-1}\binom{d}{k+1}u^{\,d-1-k}x^{k}.

試算

これなら 任意の整数 $${(d\ge1)}$$ で恒等的に成立する。
そして (d=2) のとき

$$
G_{1}(x,u)=\binom{2}{1}u+\binom{2}{2}x=2u+x
$$

$$
(x+u)^2-x(x+2u)=u^2
$$

二項定理、パスカルの三角（乗法公式）

$${G_d}$$は、次元数に応じた二項定理の展開の形になる。

• (d=1):

$$
(x+u)-x=u
$$

• (d=2):

$$
(x+u)^2-x(x+2u)=u^2
$$

• (d=3):

$$
(x+u)^3-x(x^2+3ux+3u^2)=u^3
$$

• (d=4):

$$
(x+u)^4-x(x^3+4ux^2+6u^2x+4u^3)=u^4
$$

まとめ

つまり、多次元体の完成から$${1^d}$$だけ、残して、全て取り去る。
という関数を作る。

その関数構造は

🍊みかん！

である。

ヘタを取り除き、皮と中身を全部食べてしまえば、残りはヘタの$${1^d}$$です！

上記の一般化は単位も$${1\to u}$$にしたので、$${ヘタ:=u^d}$$ です。

2026/01/05 8:34

D.

#宇宙式 #数学

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