図解: 数の多次元空間、指数次元の捉え方

数の多次元空間概念

はじめに

数の肩に指数（次数）がつくと、その数で掛け算する回数。として、教わります。計算をする。というのは、まとまったカタチをバラバラに分解して、構造を破壊してしまうようなものです。

$$
\Large
17^5=1,419,857
$$

こうしてしまうと $${17^5}$$ の量、大きさは桁数ではっきりと分かります。しかし、まとまりの単位がもう見えなくなります。コップに入った水を床にこぼしてコップ何杯分の水がこぼれているのか、床にこぼれた水たまりを、あとから見た人には想像ができなという感じの状況です。

今回は、この指数表現数の空間的イメージを図解で見ていき、どんな構造になっているのかを想像しやすくする話をしてみようと思います。実験開始！

０次元

３Ｄモデル使って０次元とは、なんぞ？って思った？
箱が１個＝１点→点だから０次元
点という存在が、生まれているので箱が１個あります。
１次元の指数部は「０」

$$
2^0 = 1
$$

１次元

横に伸びました。縦幅、横幅、奥行きのどれかに伸びることが出来る。
１次元なので指数部は「１」

$$
2^1=2
$$

２次元

縦横、または、縦と奥行き、奥行きと横、３つの組み合わせのどれか
２次元なので指数部は「２」

$$
2^2=4
$$

３次元

はい。おなじみの３次元です！
縦横奥行き３つの方向をセットで扱えます。
３次元なので指数部は「３」

$$
2^3=8
$$

４次元

ここから少し難しくなるかもしれないけど、４次元です。
🟦青い箱は（３次元の🟥赤い箱８つ分）$${2^3=8}$$ をイメージしてください。
それが２つあるという事です。
４次元の指数部は「４」

$$
2^4=16 \quad (=2^3\times2)
$$

５次元

５次元です。箱４つ。変化の仕方に慣れてきましたか？
５次元の指数部は「５」

$$
2^5=32
$$

６次元

６次元です。
はい、つまり前の次元の箱の数の「２倍」になってるって事です。
６次元の指数部は「６」

$$
2^6=64
$$

７次元

…もういいですね。

次元が増えると２倍になる？

No!! いいえ。倍数は、基数となった「２」に依存します。
つまり、基数が「３」ならば３倍ずつ増える。と、捉えます。

>>> 2**0
1
>>> 2**1
2
>>> 2**2
4
>>> 2**3
8
>>> 2**4
16
>>> 2**5
32
>>> 2**6
64

>>> 3**0
1
>>> 3**1
3
>>> 3**2
9
>>> 3**3
27
>>> 3**4
81
>>> 3**5
243
>>> 3**6
729
>>>

後で詳しく説明します。

相似関係

次元の話なのに３Ｄの箱で統一して説明しました。

を、イメージしてもらいたかったからです。

そして、相似関係、相関関係が見えたかと思います。

０次元と３次元

０次元と３次元は、箱の数が異なるだけで同じカタチの相似関係です。

１次元と４次元

こちらも並びが違いますが、並べ替えれば同じ２つの箱で相似関係です。

２次元と５次元

こちらも並べ替えれば同じ４つの箱、相似関係ですね。

再び３次元と、６次元

また、０次元の時に出てきた、３次元が出てきました。

箱１個の量は異なりますが、同じ箱型の数は同じです。
はい。これで法則性が🧠解りましたか？

次元の繋がり方

慣れたら解ったと思います。私もこれを書いて解りました（笑）🤣

$$
D  次元\pm3=相似次元 \quad 但し、D\ge0
$$

という関係で繋がっています。

次元拡張と p-進数次元空間

数の次元空間は指数表現の指数部が次元数になっています。
そして、その倍率は基数となっている数、が倍数の基準となってます。

基数が２の例でした

基数が３だと？

＋１次元拡張で３倍になります。

不思議ですね。

＋１次元拡張する時、空間は箱１個の基数を知っている！？
のでしょうか？？

もし、箱一個の基数が「１」だったら？？

次元拡張しても増えない！となりますね？？

$$
1^d = 1
$$

どういう事だ？後で解ります。（たぶん）

p-進数次元空間

箱１個が素数 $${p}$$ とします。
（素数なのは最適化するとここに集まる性質があるので必然）

$$
p^d = p\text{-進数}  d  \text{次元}
$$

という成長で広がる空間という概念です。

空間と量は異なるもの！

この図の例は１次元と４次元のイメージですが、指数表現の$${p^d}$$ とは、次元空間の広さであり、実際の大きさ量は、また別である。
という、視点がここから先の実験で明らかになります。

p=2 の例

$$
2^1=2 = 箱２個
$$

$$
だけどこれは、空間が２個 と解釈する\\
素数 箱１個 = p=2  の量は  p\times 2個 = 4  となる。
$$

p=2 が２つは４．あってる。

p=3 の例

$$
3^1=3 = 箱３個
$$

箱が横に３つ並んでいる。

$$
だけどこれは、空間が３個 と解釈する\\
素数 箱１個 = p=3  の量は  p \times 3 個 = 9  となる。
$$

３が３つで９// 💯合ってる。

解ったかな？（私、解った！）

４次元だった場合は？

４次元のイメージでもあるので、その試算。

えっとこれは p=2 として。箱１個が３次元 d=3 で倍なので…

$$
D = p^d = 2^3\times2 = 8\times2 = 16=2^4, \quad V = p \times 16 = 2\times16=32
$$

$${2^4}$$ ４次元になってますね。$${p=2}$$ だった場合のその総量は$${32}$$

2 が 8 個、その２倍は…　１６x２=３２// 💯合ってる！

相似次元に拡張して試算する

相似次元は $${次元±３＝相似次元}$$ でしたね。※但し、$${次元\ge0}$$

１次元→４次元としてみる。ああ、それはさっきやったばかりだ…。
どうしよう？更に上？ $${4+3=7}$$ 次元？！出来るのか？

p=2 の７次元！

$$
D=2^7=128, \quad V = p\times128=256, \quad p=2
$$

p=3 の４次元

$$
D=3^4=9^2=81, \quad V = p\times81=243, \quad p=3
$$

ここで空間が基数を知っているか？の本質が明らかになりましたね！

空間と基数

箱が基数として機能しているのではなく。

箱は p=q とある値を有しているが、＋１次元の拡張成長には別の成長基準の基数 $${D_{\text{base}}}$$ があるという事ですね！

$$
D = p^d \to D_{\text{base}}^d
$$

• 空間基数 D_base

• 次元 dimension

• 単数 p_unit

• 量 value

の、４つの要素が解りましたか？
（私は、ここを書き直したのでちょっと解ってないかも！）

応用 p=7 の７次元

次元空間式

$$
D = p^d \to D_{\text{base}}^d, \quad V=p\times D \quad (d=\text{Dimension},  p = D_{\text{base}}\in \mathbb{P})
$$

D = p^d \to D_{\text{base}}^d, \quad V=p\times D \quad (d=\text{Dimension},  p = D_{\text{base}}\in \mathbb{P})

※Pending: $${p\ne D_{\text{base}}}$$ の一般化算出式を書くこと✍️

試算

$$
D=7^7=823,543. \quad V = p\times823,543=5,764,801. \quad p=7
$$

桁が多くてイメージできませんね（笑）

しかし、量が解れば箱１個が $${p=1}$$ として $${\text{box} = 5,764,801}$$ 並んでいる。とイメージするだけです。が、

ここで使った「次元空間式」を適用すると…。
箱１個 p = 1、横並び１次元空間なので…。 $${p^1}$$

$$
p=1, \quad p^{5,764,801} \quad 1^{5,764,801}=1  ???
$$

おかしな事になってます。

「１」が素数になれない理由です。（かね？）

ここは、基数が $${5,764,801}$$ であり、次元が「１」として、

$$
V=5,764,801^1=5,764,801, \quad p'=5,764,801
$$

と、解釈すべき問題である事がわかります。
（5,764,801 次元って何それ！？怖い…）

p ≠ D_base 箱の量と空間成長基数は別もの！

さっき言ってた $${p=1}$$ だと＋ｎ次元空間に成長できないの意味と、空間が成長基数 $${D_b}$$ を持っている。箱の単位 $${p}$$ とは別である。という、明確な答えがここにありましたね。

そしてここで新たな事実が判明する

p-進数空間 7 を７次元目一杯、広げました。その V = 5764801 でした。
因数分解します。

$$
5,764,801 = \Large7^8
$$

８！？
$${p^d=7^7, V=7^8}$$ ！？

>>> sp.factorint(5_764_801)
{7: 8}
>>>

一体どういうことでしょう？

単純な仕組みで解説しちゃえば…

指数法則

$$
p^d=D, V = p\times D = p^1\cdot p^d = p^{d+1}
$$

$$
p\text{-進数}  d  次元:  p^d  が満たされた空間の総量は  p^{d+1}  次元昇華↑\\🌹🌷🌻🌸🌼
$$

p^d=D, V = p\times D = p^1\cdot p^d = p^{d+1}\\
p\text{-進数}  d  次元:  p^d  が満たされた空間の総量は  p^{d+1}  次元昇華↑

まとめ

（もっかい整理して後で書く）（ぉ…）

どうですか？
数の次元（指数表記の世界）の空間🧠イメージが出来ましたでしょうか？

数学脳の変化に役立てれば幸いです。

2025/06/19 15:39

D.