宇宙式: トロミノ構造は四角⇔三角？

トロミノ構造を四角で説明していたけれど、三角でも成り立つ。

なんでか？

エイゼンシュタイン整数のノルム

詳しくは Wikipedia

という世界に入る。

整数格子は正方形でなくてよい。
三角の格子点でも全ての点が等間隔になるので整数になる。

という事らしい ←

宇宙式で言うと

$$
\Large
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
$$

の世界が

$$
\Large
a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab
$$

となる。$${ab}$$分足りない。

ざっくり

#相対多角数 で言うと、#宇宙式 の四角形は、足りない。

本来は十字の形になる。

⬜️🟦⬜️
🟦🟦🟦
⬜️🟦⬜️

それを約半分の

⬜️🟦
🟦🟦

で完結している。

原理は、

⬜️⬜️
⬜️⬜️

余白が自身の平方完成形となる事より、

⬜️⬜️🟦🟦
⬜️⬜️🟦🟦
🟦🟦🟦🟦
🟦🟦🟦🟦

と、自己相似で同型となる事より、
十字にならなくてもよいのであろう。

あるいは、
🟦⬜️
🟦🟦
と、反転回転させたものが４つある。
そのうちの１つ（１／４）。

三角形にしても同様に、この場合、六角形が、自己同型になる。
正六角形の内、１つは正三角形（１／６）１辺回転完成の１辺で済む場合？

という話になるのだろう。

詳しい話は、また今度にする。（ちゃんと原理解明と理解したら…笑）

2026/02/17 6:45

D.

Appendix

正六角形に正三角形

#正三角形 が６つ展開された時、 #正六角形 が出来る。
#正方形 も４つ展開で正四角形となるが #自己相似 となる。

４→８→１２→１６＝$${4^2}$$と、基数ベースが出発の「４」と同じなら？
３→６→９→１２→１５→１８＝$${2\times3^2}$$違うねｗ
でも$${9=3^2}$$で「３」の３回展開で指数化できる。
６回展開は、その２倍なので$${2\times3^2}$$で一致する。

つまり、

$$
ｎ角数 × 展開ｎ回\to指数表現
$$

$${[5,10,15,20,25]:=25=5^2}$$
$${[7,14,21,28,35,42,49]:=49=7^2}$$

$${[9,18,27,36,45,54,63,72,81]:=81=9^2}$$

当たり前といえば、当然の結果だ。

$$
\\[2pt]
\Large
n \times n = n^2\qquad \to n^{n+1}
$$

正ｎ角形でなくとも、そのｎ角数の１周は、指数部の $${n\to n+1}$$ となる。

実は、この指数が＋１されるのは、自然数の$${N \to N+1}$$と、同型になる。
これが p-adic、p-進評価（指数部だけ取り出す）という観測法になっている。

指数部を、自然数と見立てると、基数（ベース）の値が同じなら、そのまま整数論で評価しても通じる。細かな解析部分は、基数の細分化。ここは普通の整数。なので、

$$
\huge
a^p\quad \large(p\in \mathbb{P}\text{rime})
$$

素数指数で、考えてしまえば良くなる。という視点がある。
その後に$${a=p}$$として基数も素数で見る。

すると、合成数すべての状態をコンパクトに観測可能となる。

何が言えるようになるか？

$${N, N+1}$$の関係は全て$${\gcd(N,N+1)=1}$$約数が１なので互いに素の関係。つまり、同じ基数の組を持たない。全て異なる基数を持つ。

$${N_{\text{odd}}:=2n+1}$$に置いては、

$$
\gcd(N_{\text{odd}},N_{\text{odd}}+2)=1
$$

奇数＋２も全て、互いに素の関係になる。

よって、偶数は２で割り続けて奇数としてから、
評価すると因子状態関係を明らかに出来る。これは、コラッツ予想っぽい。

白銀単位 $${U_{\text{Ag}}}$$ という新しい単位で、偶数を１単位として、
$${N_{\text{Ag}}+1}$$で素数が生まれない数列を構築して観測している。

じゃあ、素数は、どうやって生まれる？

$$
N_{\text{Ag}}+U_{\text{Ag}}/2=\tfrac12
$$

半位相$${U_{\text{Ag}}}$$の中間点の数。を進んだ位置に、素数が生まれる✍️

$$
\Large
U_{\text{Ag}}:=1+\sqrt2\qquad(\sqrt2-1)\\[16pt]
\small
U_{\text{Ag}}/2:=\frac{1+\sqrt2}{2}
\quad
\left(U_{\text{Ag}}/2:=\frac{\sqrt2-1}{2}\right)
$$