数学: 数（かず）は、円（えん）◯円環数

数円環すうえんかん→円環数えんかんすうに言い直してみた（2025/06/08  4:04）

数直線すうちょくせんを廃止して数円線すうえんせんとしよう！

って、話で盛り上がった。

数直線すうちょくせん

実数 $${\mathbb{R}}$$ をイメージする時に思い浮かべる数直線

これで無限 ∞ まで書こうと思ったら通常は無理なんです。
$${\cdots 9.0, \space 10.0 \cdots \infty}$$
って、書けばいい！と言われるけども。

数円線すうえんせん

こそで直線を円にしてしまう

長さを比べるには少々向いてませんが、同じスケール（例えば１周は100）で、どちらが大きいか？は角度で比べられます（※後述の数円盤参照）

$$
∠30◯100 < ∠60◯100
$$

または、進む円周の長さが同じ１単位とするなら、円周の長さで繋げた円の大きさを比較すれば大小関係が解ります。（※偏角の底の変換）

$$
◯10 > ◯5
$$

と、まあ。正直、この図をプログラムで書くのが数直線よりも３倍ほど…？

めんどくさい！（笑）🤣 y=sin?, x=cos??

だけど、この概念が発散する無限 ∞ をこの円線上に閉じ込められます。

始点から上側が（＋）プラス。下側が（－）マイナス
終点は ∞→±∞

リーマン球面

かの数学者リーマンはこれを複素平面世界に球面という形状で無限を１点に集約しました。リーマン球面です。この球面はリーマンゼータ関数の世界、解析接続世界に果はてをちゃんと視界内に可視化する手法として作られました。

なんでこれを実数世界に持ってこなかったのか？

話がややこしくなる。説明が大変。小学生には理解困難。
円がきれいに描けない。コンパス使わないと行けない（針が危ない！）
単純理由はこれでしょう。

そしてこの世代にまだ ∞ の概念は必要ないです。
有限世界しか理解できないでしょう。だからこの概念も不要。

中学からはどうか？ここもまだ必要ないのでしょうね。式変換と割合統計。
高校数学くらいから？だけど、こういう教え方を私は見たことはないです。

複素数という虚数を覚えるところで始めて数が回転する。を知るでしょう。

こういう面白い数学は大学からなんですかね。
（私は大学行ってないので知りません😏）

私は数が回ってるを知ったのは複素数と電気工学からですかね？
あとは２Ｄ、３ＤＣＧの世界をプログラミングした時に。

そもそも無限 ∞ で数が閉じる。という世界観が未だに未証明であるからこの考え方が出来ない。教えられない。間違っているかも。という事から未採用なのでしょうね。

円環に終わりはない

円周上ならば数は何処まで進んでも持続可能で無限に回り続けられます。

つまり数が進むとは、ある一定の周回を何周もすること繰り返されること

ここに周回というひとつのパターンが存在するか否か？
という１周の円周スケール概念があらゆる法則にあるもの無いもの。

素数の無限にはこれが無いとされる。始点と終点が円環で繋がっていない。

こういった見方が出来る点が数円線すうえんせんという概念で可視化しやすくなる可能性という話で今日は盛り上がりました。✍️

数円線すうえんせんではなく数円盤すうえんばん

応用分野「偏角」情報を活用する

有理数、無理数、超越数

応用として話題に上がったのは代数で表現しにくい超越数です。
実数の数直線上に存在します。値がいくつかは正確には求まりません。

π や e がそうである。と、証明されてはいるけども、正確にいくつ。とは、数字では書き表せません。

そこで

$$
∠3◯10 < \pi◯10 < ∠4◯10
$$

こんなふうに考えてみます。
π は 3 < π < 4 ですが、ここに角度という情報が新たに加わります。

１周を１０分割した例でしたが、こんなふうにスケールを変えられます。

こうすると ∠π◯2π=180° となり ∠3◯2π と ∠3.3◯2π の角度はいくつになるのか？という新たな視点と、問いが生まれます。この回答の角度は当然、
π に依存するので π の精度（解像度）によって角度が正確に決まります。

つまり、π に依存している世界なのでその答えも無理数や超越数となる。

これはリーマンゼータ関数の時間 t が正確に有理数で求まらないとする世界と同じことになるでしょう。８分割した座標点も π 依存なのでこう書くことになります。

LABELS = ["0", "π/4", "π/2", "3π/4", "π", "5π/4", "3π/2", "7π/4", "2π"]

つまり、無理数や超越数を新しい情報源の偏角、角度で絞り込んで捉える。

$$
∠3◯2π < π◯2π < ∠3.3◯2π
$$

解っている超越数単位の世界に実数を取り込み、有理数と無理数、超越数の組み合わせで新たな超越数を有理数係数で絞り込んで攻めていく。

という微分積分が出来る？

従来の数直線では、数の距離（差）で微分・積分が行われる。
この「円環ベース」で行う微積は、

• 実数 $${x}$$ を偏角 $${\theta(x)}$$ に対応づけ
  → $${x \mapsto \theta(x)}$$ という写像を定義する

• その $${\theta(x)}$$ を関数 $${f(\theta)}$$ と見なす

• 微積分を $${\theta}$$ に関して行えばよい：

$$
\frac{df}{d\theta}, \quad \int f(\theta), d\theta
$$

極座標系の微分積分？！

結果、これが複素数の世界。複素解析の世界へと繋がっていくのか？✍️

$$
f(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}
$$

他の応用

円周の一部を切り取って直線に伸ばすではなく、
円弧の切れ端を繋いで再び円とする。

$$
◯8 - ◯6 = ◯2
$$

$$
\begin{align*}
◯2 &= ∠(45*2=90°)◯8 \\
◯2 &= ∠(36*2=72°)◯10
\end{align*}
$$

１周８の円◯８から◯６引いて残った２の円弧を繋げ小さな円とする→◯２
それを元の◯８の偏角量で表し直したもの。
または◯１０の偏角量に換算したもの。

円周単位の異なる系同士の変換も偏角単位の交換（底の変換）によって
スケーリングも可能となる（動的調和数論 DHNT 的思考）

おわりに

実数世界をイメージするのに「数直線」その無限を取り込む「数円線」偏角を使った比較や解析の「数円盤」トポロジー・複素解析・位相群と絡み、数を構造的に見る円環数えんかんすうそして最後に数の宇宙、リーマンゼータ関数世界「リーマン球面」→「数球体」という系の繋がりができたと思います。

「数」は数字ではなく姿カタチ「幾何的」である。多くの情報を持つ物体✍️

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最近、またちょっとソシャゲ遊び戻ったけど、周回ゲーはまさにこの繰り返し作業である。が、無限ではない。いつかサ終で終りが来る。そういう意味では素数無限世界と同様ですねぇ。道中に繰り返しがあるけど少しずつ違った周回パターンがある。そしていつか終わる。終わるとそこは始点なのか？

リーマンゼータ関数の非自明なゼロ点のようだ。最初は忙しいが後半はもうやることも少なくなる😀

2025/05/23 14:53

D.