リーマン予想: 自明な π-Shift の発見✨️

「非自明」なゼロ点と「自明」なゼロ点

ずっと RH リーマン予想の「非自明なゼロ点」を追ってきた。
「非」と否定で名乗られているのは「自明なゼロ点」があるから。

ゼータ関数 $${ζ(s), s = \{-2, -4, -6, -8, \cdots, -2n\}}$$ と、値を代入すると $${ζ(s) = \bold 0}$$ になる。 こうなることが解っているから「自明」となっている。

なので、あまりこの点に関しては研究されていなかったのではなかろうか？

Deep Research によると、普通に研究されている。特に、臨界領域外での非自明なゼロ点の存在否定の証明などが主。これは当然の研究となる。私も、この結果を頼りたい。

https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s40993-023-00498-y.pdf

π-Jump と π-Shift そして π-Silent ？

ゼータ関数内での π の動きにはいくつか種類があった。

π-Jump

私（私達）が、ずっと研究してきているのは「非自明なゼロ点」で起きている急回転「π-Jump」180°の急転回の運動を観測していた。

π-Shift

新しい観測現象です✨️

では「自明なゼロ点」偏角変位はどうなって？

ここが、今回のテーマです。
ずっと考えてはいたけれど…今まで余裕なくて、観測していませんでした。

で、ある反証をきっかけに調べてみました（この反証は後に否定されます）
まずは、その自明なゼロ点の偏角変位のグラフを見てみましょう！

これがリーマンゼータ関数の自明なゼロ点の周辺の動きです。
自明なゼロ点からの虚軸 $${t}$$ を前後させた結果です。
共に対象的に ±π/2 だけ動きます。

$${-0.0001 \to +0.0001}$$ で変位が始まっているのは何でしょうかね？
こういった現象は、だいたい離散解像度によるものですね…。

# Python
import mpmath as mp
import matplotlib.pyplot as plt

# Precision settings
mp.dps = 200

# Define a small range around t = 0 to observe phase behavior
t_width = 7
t_values = [mp.mpf(i) * mp.mpf("1e-4") for i in range(-t_width, t_width+1)]

グラフのコードはこうなっているので、"1e-4" → $${10^{-4}=0.0001}$$ ですね～
試しに "1e-5" とすれば、

こういう予測がピッタリ当てはまると、楽しいですね。

他の自明なゼロ点では？

他の自明なゼロ点も含めて眺めて見てみます。

こういう結果が出ました。解りましたか？交互に上下運動しています。
繋げて見れば、デジタル信号波となっているのが自明なゼロ点の特徴！

-2n/2 の偶数は立ち上がり、奇数は立ち下がりとなる交互の繰り返し。
実にシンプルな、解りやすい動きで単純明快…！

とは行かないのがリーマンゼータ関数！ζ(s)

自明なゼロ点＊以外＊の観測

これを書きながらちょっとは疑っていましたよ。同時並行で調べてます。
びっくりですよ（笑）

自明でないゼロでない $${s = (\{-1, -3, -5, -7, \cdots, -2n-1\})}$$ 奇数のところは変化がないだろうと π-Silent なのだろうと…。しかし！

$${2π}$$ の変位をしている箇所が１つ飛びに発生している！？
その位相状態は次の偶数点の開始位相と異なる $${π}$$ で $${π/2}$$ ではない！連続していない。おかしい。おかしすぎる！

すこし細かく観測！

0.5 刻みで観測（まさかこんな単位での観測で見つかるはずは…）
！！！（※グラフ縦長いです…スマホなら問題ないか）

これは、既に既知の事実か？未踏の領域か？？
新たな予想が生まれそうな予感（半分以上外しまくってる新たな D. 予想…）

$${ζ(s) = 0}$$ を、歴代数学者は研究していました。結果がゼロになるから、解りやすい。内部の偏角の動きを意識しなくて良い。意識するのが難しいと言う観点でもある。いま、私達は、それを可視化している。

全体的には、連続しているように見えるけど、まだこのグラフでは繋がっていない。この間にまだ変化ポイントが潜んでいる！？

素直に繋げて観測する

-1 → -20 までを連続的にグラフ化しました。はい。これが真相です。

ゼータ関数 $${ζ(s)}$$ やってくれるわね…。新たな沼にハマりましたわ…。
こんな予測を誰がしただろうか？

しかもこのサイクルは整数境界で起きていない？にも関わらず、-2n でゼロ点を形成する整数規則性を生んでいる。理由がちょっとわかりません…。

観測範囲を広げる

序盤は整数境界で起きているように見えたが、徐々に幅が変化している。
デュティー比が変わっているのか？－１０ｎ単位でピッタリと一致する。

別の観点でのグラフ化

えっと次は π 位相変化の微分（だよね？）変化のグラフで見る。

こうしてみると $${-2n}$$ で変化しているのが解り $${ζ(-2n) = 0}$$ な現象が起きている理由が見える気がする。しかし、上に伸びた急変は何だ！？！？

どちらも一定間隔で起きている。規則性があるが、下のスパイクと上のスパイクの間隔が同期していない。

ああ、解像度の問題が含まれているグラフになっているわ…。微分解像度が悪い。それでも、一定規則を保つわけだから…そこに大きな変化があるのは間違いない。

うーん…完全に沼にハマった！

ゼータ関数の新たな深淵に足を突っ込みましたね…
すごい数の定理・定義が含まれてますよ。ここだけで…。

賢狼と話しながら出てきた新名称だけでも、

（π-Silent → π-Ridge に改名されていたか）

その中で類似研究があるか？

この続き？やる？？😅私の代わりに誰か解明してください。

この発見に繋がった例の反証について

この短い反証論文がきっかけです。

import mpmath

# 高精度設定
mpmath.mp.dps = 50000  # 小数点以下50000桁

# sの定義（相手の主張による）
real_part = 369 * mpmath.exp(-369) - 369 - 369
imag_part = 369 * mpmath.exp(-369)
s = mpmath.mpc(real=real_part, imag=imag_part)

# ゼータ関数を評価
zeta_value = mpmath.zeta(s)

# 結果出力
print("s =", s)
print("zeta(s) =", zeta_value)
print("|zeta(s)| =", abs(zeta_value))

この結果が $${ζ(s)=0}$$ となって、自明なゼロ点に近いところで非自明なゼロ点が検出されたとする内容です。

わたしたちの解析結果では、

s = (-738.0 + 2.0528751794708747873694927746792501308263718832865e-158j)
zeta(s) = (-7.8452830662724920569289209077658684964839725556626e+893 - 8.0172280148787847310400543502253657702776670079051e+1050j)
|zeta(s)| = 8.0172280148787847310400543502253657702776670079051e+1050

Near s:
s + i*eps = (-738.0 + 1.0e-20j)
zeta(s + i*eps) = (-1.86158782649527629883506092386463573162001172665e+1169 - 3.9053655551260608600645608612003831224559596932501e+1188j)
|zeta(s + i*eps)| = 3.9053655551260608600645608612003831224603965496556e+1188

となり、否定されます。

s = -738 は、上記の検証より、s/2 = 369 なので奇数となり、立ち下がりのπ-Shift が発生すると予測。

予測通り立ち下がりの変位を観測。そして、０点をわずかに横切っていないのでゼロではない。と、結果もこのグラフでは言っている。
よって、反証の否定となりました。

結論

私達の OOL-KND は（まだ）覆されないのであった✍️

さて。こちらの世界の探求…。どうするか…。
誰か興味あるひといればソースコードの整理して GitHub に更新しておく…。

2025/05/04  7:38

D.