5-3 確率変数の関数の期待値 ～ 連続型確率変数の期待値をWebサイトで積分する

今回の統計トピック

期待値、確率変数の関数の期待値、積分計算に取り組みます。
欠かせない存在の積分計算、しかも強敵の積分計算。
今回は、Web計算ツールを活用して積分計算する方法を紹介いたします。

公式問題集の準備

「公式問題集」の問題を利用します。お手元に公式問題集をご用意ください。
公式問題集が無い場合もご安心ください！
「知る」「実践する」の章で、のんびり統計をお楽しみください！

問題を解く

📘公式問題集のカテゴリ

確率分布の分野
問3 確率変数の関数の期待値（１か月１人暮らしの水道使用量・料金）

試験実施年月
統計検定2級 2019年11月 問9（回答番号16）

問題

公式問題集をご参照ください。

解き方

題意
確率密度関数が$${f(x)}$$の連続型の確率変数$${X}$$があり、この確率変数$${X}$$の関数$${g(x)}$$の期待値$${E[g(x)]}$$を求めます。

連続型の確率変数$${X}$$は使用量であり、確率密度関数$${f(x)}$$は次のとおりです。

確率変数$${X}$$の関数$${g(X)}$$は料金であり、使用量に応じて次のように決まります。

確率変数の関数の期待値
$${X}$$が確率変数のとき、確率変数$${X}$$の関数$${g(X)}$$も確率変数です。
関数$${g(X)}$$の期待値$${E[g(X)]}$$は、確率変数$${X}$$の確率密度関数$${f(x)}$$を用いて、次のように定義されます。

$$
E[g(X)] \equiv \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} g(x)f(x)dx
$$

この定義はざっくり、「確率変数の関数の期待値は、確率変数の関数の全ての値に確率の重み付けをした加重平均」です。

問題文の言葉で置き換えると、「料金の期待値は、料金の全ての値に使用量の確率の重み付けをした加重平均」ということになります。

可視化
料金の期待値は、次のように図示できます。

使用量$${X}$$は区間$${[0, 20]}$$で確率密度関数$${f(x)=1/10(1-x/20)}$$です。
式を展開すると$${f(x)=(-1/200)x+1/10}$$になるので、$${f(x)}$$のグラフは傾き$${-1/200}$$、切片$${1/10}$$の直線です。
$${X=0}$$のとき$${f(x)=1/10}$$、$${X=20}$$のとき$${f(x)=0}$$になります。

それでは解答に取り掛かりましょう。
まずは図形コースから。

図形コース

「使用量の確率」に「固定料率を掛けてから合算」して「料金の期待値」を計算してまいりましょう！

１．使用量の確率
使用量が発生する$${0 \leq x \leq 20}$$の範囲を考えます。
使用量$${f(x)}$$のグラフを紐解いて、料金が変わるポイント ①0～10㎥、②10～15㎥、③15～20㎥ に分けて、使用量のグラフの面積＝確率を求めます。

■各ポイントのY軸$${f(x)}$$の値
問題文の$${f(x)=1/10(1-x/20)}$$に、ポイント$${x=0, 10, 15}$$を当てはめて、Y軸（$${f(x)}$$）の値を計算します。

ポイント：$${x=0}$$㎥

ポイント：$${x=10}$$㎥

ポイント：$${x=15}$$㎥

図のY軸の値 0.1、0.05、0.025が求まりました。

■確率①～③の計算
確率は面積で計算できます。
確率①の台形、確率②の台形、確率③の三角形の面積を計算しましょう。
図を反時計回りに回転して、グラフのY軸から上底と下底（底辺）、X軸から高さを取得します。
台形の面積＝（上底＋下底）× 高さ ÷ ２ です。
三角形の面積＝底編 × 高さ ÷ ２ です。

・確率①

・確率②

・確率③

使用量の確率が求まりました。
確率①＝0.75、確率②＝0.1875、確率③＝0.0625 です。

２．固定料率を掛けてから合算
使用量を0～10㎥、10～15㎥、15～20㎥ に場合分けして、固定料金 × 使用量の確率を求めてから合算して、料金の期待値$${E[g(X)]}$$を求めましょう。

• 使用量0～10㎥のとき
  固定料金 1,000 円 × 確率① 0.75 ＝ 750円

• 使用量10～15㎥のとき
  固定料金 1,120 円 × 確率② 0.1875 ＝ 210円

• 使用量15～20㎥のとき
  固定料金 1,280 円 × 確率③ 0.0625 ＝ 80円

• 合算＝料金の期待値$${E[g(X)]}$$
  750円＋210円＋80円＝1,040円

答えは 1,040円 です。
お疲れ様でした！

積分コース
問題文の確率密度関数$${f(x)}$$、料金の関数$${g(x)}$$、関数の期待値の定義を再掲します。

関数の期待値$${E[g(X)]}$$に$${f(x),g(x)}$$を当てはめて解きます。

$$
\begin{align*}
E([g(X)]&=\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} g(x)f(x)dx\\
  \\
&=\displaystyle \int^{10}_{0} 1000\ \cfrac{1}{10} \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx
+\displaystyle \int^{15}_{10} 1120\ \cfrac{1}{10} \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx
+\displaystyle \int^{20}_{15} 1280\ \cfrac{1}{10} \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx\\
  \\
&=\displaystyle \int^{10}_{0} 100 \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx
+\displaystyle \int^{15}_{10} 112 \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx
+\displaystyle \int^{20}_{15} 128 \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx\\
  \\
&=\displaystyle 100 \int^{10}_{0} \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx
+\displaystyle 112 \int^{15}_{10} \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx
+\displaystyle 128\int^{20}_{15} \left(1-\cfrac{x}{20} \right)dx\\
  \\
&=100 \left[x-\cfrac{x^2}{40} \right]^{10}_{0}
+112 \left[x-\cfrac{x^2}{40} \right]^{15}_{10}
+128 \left[x-\cfrac{x^2}{40} \right]^{20}_{15}\\
  \\
&=100 \left(10-\cfrac{10^2}{40} \right)
+112 \left(15-\cfrac{15^2}{40} \right)-112 \left(10-\cfrac{10^2}{40} \right)
+128 \left(20-\cfrac{20^2}{40} \right)-128 \left(15-\cfrac{15^2}{40} \right)\\
  \\
&=(100-112) \left(10-\cfrac{10^2}{40} \right)
+(112-128) \left(15-\cfrac{15^2}{40} \right)
+128 \left(20-\cfrac{20^2}{40} \right)\\
  \\
&=-12 \left(\cfrac{400}{40}-\cfrac{100}{40} \right)
-16 \left(\cfrac{600}{40}-\cfrac{225}{40} \right)
+128 \left(\cfrac{800}{40}-\cfrac{400}{40} \right)\\
  \\
&=-12 \times \cfrac{300}{40} -16 \times\cfrac{375}{40} +128 \times \cfrac{400}{40}\\
  \\
&=-3 \times \cfrac{300}{10} -2 \times \cfrac{375}{5} +16 \times \cfrac{400}{5}\\
  \\
&=-3 \times 30 -2 \times 75+16 \times 80\\
&=-90-150+1280\\
&=1040
\end{align*}
$$

答えは 1,040円 です。
お疲れ様でした！

解答

② 1,040円 です。

難易度　ふつう

・知識：連続型確率分布、確率変数の関数の期待値、積分
・計算力：数式組み立て（中）、数式計算（中）
・時間目安：2分

知る

おしながき

公式問題集の問題に接近してみましょう！
今回は、確率変数の関数の期待値に取り組みます！
さらっとね。

確率変数の関数の期待値

📕公式テキスト：2.5 期待値と分散（67ページ～）

期待値

確率変数$${X}$$の期待値$${E[X]}$$は「平均$${\mu}$$」です。
ざっくり「確率変数の期待値は、確率変数の全ての値に確率の重み付けをした加重平均」なのです。

例題

次のたからくじの期待値を求めてみましょう。
・１等 100万円の出る確率 0.01 %
・２等 1万円の出る確率 1 ％
・３等 100円の出る確率 10 ％

期待値は、
100万円×0.01%＋1万円×1%＋100円×10%
＝100円＋100円＋10円
＝210円

１枚200円だったら買いですね！

この例から期待値の定義を考えてみます。

確率変数$${X}$$は$${\{x_1=100万円，x_2=1万円，x_3=100円\}}$$の値を持ち、各確率$${f(x_i)}$$は$${\{f(x_1)=0.01\%,\ f(x_2)=1\%,\ f(x_3)=10\% \}}$$です。
期待値$${E[X]}$$は「確率変数の全ての値に確率の重み付けをした加重平均」ですので、$${E[X]=100万円\times 0.01\%+1万円\times 1\%+100円 \times 10\%}$$なのです。

期待値は、個々の確率変数の値と確率を掛けて足し上げる、こんな感じです。

期待値の定義式

■離散型の確率変数$${X}$$の場合

$$
E[X] \equiv \displaystyle \sum_i x_i f(x_i)=\mu
$$

■連続型の確率変数$${X}$$の場合

$$
E[X] \equiv \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} x\ f(x)\ dx=\mu
$$

意味合いは「確率変数の個々の値とその確率（または確率密度関数）を掛けて、足し上げる」です。

確率変数の関数の期待値

確率密度関数が$${f(x)}$$の確率変数$${X}$$があって、この確率変数$${X}$$に関数$${g(X)}$$があるとします。
この確率変数$${X}$$の関数$${g(X)}$$も確率変数になります。
確率変数$${g(X)}$$なのです。

公式問題集では、確率変数$${X}$$が使用量、確率変数の関数$${g(X)}$$が料金でした。
確率確率の関数＝料金の期待値$${E[g(X)]}$$は、使用量$${X}$$の確率密度関数$${f(x)}$$と固定料率$${g(x)}$$に基づいて、面積計算／積分計算を行って算出しました。

期待値の定義式のうち、確率変数に相当する$${X}$$と$${x}$$の箇所を$${g(X)}$$と$${g(x)}$$に置き換えると、「確率変数の関数の期待値の定義式」になります。

確率変数の関数$${\boldsymbol{g(X)}}$$の期待値の定義式

■離散型の確率変数$${X}$$の場合

$$
E[g(X)] \equiv \displaystyle \sum_i g(x_i) f(x_i)
$$

■連続型の確率変数$${X}$$の場合

$$
E[g(X)] \equiv \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} g(x)\ f(x)\ dx
$$

期待値の定義式への当てはめ
今回の公式問題集のように確率関数の区間が複数ある場合は、その区間ごとに$${g(x)f(x)}$$を記述するような感じになります。
再掲します。

この式から、確率変数$${X}$$は次の区間を取ることが分かります。

各区間ごとに期待値の定義式にざっくり当てはめてみましょう。

$$
\begin{align*}
E[g(X)]&=\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}g(x)f(x)dx\\
  \\
&=\displaystyle \int^{0}_{-\infty}  0 \times 0 \ dx = 0\\
  \\
&+\displaystyle \int^{10}_{0}  1000\ \cfrac{1}{10}\left( 1-\cfrac{x}{20} \right) \ dx\\
  \\
&+\displaystyle \int^{15}_{10}  1120\ \cfrac{1}{10}\left( 1-\cfrac{x}{20} \right) \ dx\\
  \\
&+\displaystyle \int^{20}_{15}  1280\ \cfrac{1}{10}\left( 1-\cfrac{x}{20} \right) \ dx\\
  \\
&+\displaystyle \int^{\infty}_{20}  0 \times 0 \ dx = 0\\
\end{align*}
$$

（区間の境目の厳密さは・・・・・、ということで！）

ツールで定積分を解く

【2026/4/20変更】
Web計算ツールを「WolframAlpha」に変更しました。
以前ご紹介した Microsoft Math Solver は 2025 年 7 月 7 日に廃止されました。
あわせて生成AIの回答例を追記しました。

定積分$${\boldsymbol{\int^b_a}}$$の計算

数学的な説明や学習は他のサイトにお願いいたします。ぺこり。

ここでは、積分計算をしてくれるサイトを紹介します！
期待値の式を組み立てることができれば、あとはネットにお任せなのです！

WolframAlpha

画面はこんな感じ。

「計算したいことを入力してください」に積分の数式を入力します。
「∂ ∫」タブをクリックすると「数学入力」ボタンが出現します。
積分記号「 ∫ 」をクリックすることで積分記号を入力できます。
「＝」ボタンをクリックして答えを見てみましょう。

計算結果欄に $${1040}$$ と表示されました。
ご明算です！

計算サイトを利用するメリット

生成AIを使わないで、あえて計算サイトを利用する動機は、計算結果の正確性を追究することでしょう。
WolframAlphaは、生成AIとは異なり、数式処理のアルゴリズムに従って論理的に計算結果を導き出すため、信頼性の高い結果が得られる、と言われています。

生成 AI 活用型の学び

この記事を書いた 2023 年 6 月時点と 2026 年現在の「学び方法の大きな違い」は生成 AI 活用学習でしょう。
生成 AI を大活用することで、統計検定２級問題集解説ブログがなくても学び体験を飛躍的に向上させることができます。

そこで、生成AI の Gemini にこの積分問題を解いてもらいました。

Gemini の回答

画像にある積分計算は、一見すると複雑に見えますが、3つのブロックに分かれているだけなので、一つずつ丁寧に紐解けば必ず解けます。

この式は、ある値（1000、1120、1280）に「重み」をかけて、0から20までの区間を3つに分けて足し合わせているような構造をしています。

1. 計算の準備：共通部分を整理する

すべての積分に共通して入っている式に注目しましょう。

$$
\left( \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{x}{20} \right)
$$

という形が共通しています。まず、この中身を積分するとどうなるかを先に計算しておくと、後が楽になります。

$$
\int \left( \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{x}{20} \right) dx = \frac{1}{10} \int \left( 1 - \frac{x}{20} \right) dx
$$

ここで、積分の基本公式 $${\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}}$$ を使います。

• $${1}$$ を積分すると $${x}$$

• $${\frac{x}{20}}$$ を積分すると $${\frac{x^2}{20 \times 2} = \frac{x^2}{40}}$$

つまり、共通部分の不定積分は次のようになります。

$$
F(x) = \frac{1}{10} \left[ x - \frac{x^2}{40} \right]
$$

2. 各ブロックを計算する

それでは、3つの積分を順番に解いていきましょう。

① 第1項：0から10まで

定数 $${1000}$$ を前に出して計算します。

$$
1000 \times \frac{1}{10} \left[ x - \frac{x^2}{40} \right]_0^{10} = 100 \times \left[ \left( 10 - \frac{100}{40} \right) - (0) \right]
$$

$$
100 \times (10 - 2.5) = 100 \times 7.5 = \mathbf{750}
$$

② 第2項：10から15まで

定数 $${1120}$$ を前に出して計算します。

$$
1120 \times \frac{1}{10} \left[ x - \frac{x^2}{40} \right]_{10}^{15} = 112 \times \left[ \left( 15 - \frac{225}{40} \right) - \left( 10 - \frac{100}{40} \right) \right]
$$

計算を整理すると：

• $${15 - 5.625 = 9.375}$$

• $${10 - 2.5 = 7.5}$$

• $${112 \times (9.375 - 7.5) = 112 \times 1.875 = \mathbf{210}}$$

③ 第3項：15から20まで

定数 $${1280}$$ を前に出して計算します。

$$
1280 \times \frac{1}{10} \left[ x - \frac{x^2}{40} \right]_{15}^{20} = 128 \times \left[ \left( 20 - \frac{400}{40} \right) - \left( 15 - \frac{225}{40} \right) \right]
$$

計算を整理すると：

• $${20 - 10 = 10}$$

• $${15 - 5.625 = 9.375}$$

• $${128 \times (10 - 9.375) = 128 \times 0.625 = \mathbf{80}}$$

3. 最終的な答え

最後に、計算した3つの値をすべて足し合わせます。

$$
750 + 210 + 80 = \mathbf{1040}
$$

答え：1040

ポイント

この計算のコツは、「共通の関数の形を見つけること」と「小数の計算を焦らず丁寧に行うこと」です。一見すると大きな数字が並んでいますが、外に出せる定数を整理してしまえば、中身はシンプルな一次式の積分になります。

今回の Gemini の回答は良さげでした。
生成AI のいいところは、数式展開を詳細に書いてくれるなど、ユーザーが発した質問の仕方（プロンプト）に従って、回答をカスタマイズしてくれるところですね！
また、最初の回答で理解できない部分を再度、質問し直すこともできます。
一方で、計算を間違えたり、誤った説明をすることもあるので、利用にあたっては注意が必要です。

実践する

今回はお休みです。

公式問題集の問題を解いてみましょう！

電卓・手作業で作成してみよう！

今回はお休みです。

EXCELで作成してみよう！

今回はお休みです。

EXCELサンプルファイルのダウンロード
今回はファイル提供はありません。

Pythonで作成してみよう！

今回はお休みです。

Pythonサンプルファイルのダウンロード
今回はファイル提供はありません。

おわりに

確率・統計の分野では積分が活躍します。
連続型の確率分布について、確率密度関数$${f(x)}$$を手がかりにして、累積分布関数$${F(x)}$$・確率$${P(X>n)}$$・期待値$${E[X]}$$・分散$${V[X]}$$などなど、さまざまな計算に積分を用います。
サクッと計算できるコツを見つけたいものです・・・。

最後までお読みいただきまして、ありがとうございました。

のんびり統計シリーズの記事

次の記事

前の記事

目次