Cinderellaで数学：いろいろな曲線：アルキメデス螺旋
「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）に載っているアルキメデスの螺旋を扱います。同書には，このあとベルヌーイ螺旋（対数螺旋）も紹介されていますが，作図器はありません。式は$${\rho=a e^{\theta \cot b}}$$ が示されています。
アルキメデス螺旋は，極方程式 $${r=a \theta}$$ で表される曲線で，高校の教科書にも載っています。CindyScriptを使えば簡単に表示できます。ちょっとやってみましょう。$${a=1}$$ として，媒介変数表示にしてプロットします。
このように，曲線を描くだけなら簡単ですが，今やってみたいのは作図器でどのように作図するかです。そのため，どのように曲線が描かれていくかを確認しておきましょう。次の図は角θとr（OP）の対応および位置を３つ描いたものです。
このようにして，角θの増加に伴い，OPが回転・拡大しながら曲線を描いていきます。
では，曲線の事典に掲載の作図器を見てみましょう。本には次のように説明があります。
平面$${\pi}$$上に固定された直線$${r}$$および固定点Pに取り付けられた針がある。円盤が直線$${r}$$に沿って滑ることなく転がり，針Pが直線$${r}$$に平行で円盤の中心を通る直線上にあるとき，針Pは円盤上にアルキメデス螺線をかく。
どうでしょうか。わかりにくくありませんか。図も写真と右の図が対応していませんし。
Web上のものを見ると，上の説明より詳しく書かれています。
固定された直線 $${r}$$ に沿って滑ることなく転がる円盤(平面$${\pi}$$)上に、固定点Ｐに取り付けられた針が描く曲線の軌跡として作ることができる。 この装置では、この平面$${\pi}$$は(必ずしもそうでなくともよいのだが)円盤となっている。 そして、図の後方の固定支持平面$${\alpha}$$に取り付けられた縦棒の中央に点Ｐがあり、そこに(平面に垂直に)針が取り付けられている。 はじめに針Ｐが円盤$${\pi}$$の中心にあるときは、ｱﾙｷﾒﾃﾞｽの螺旋を描く。
注、図の円盤$${\pi}$$の後ろに、同じ中心を持つ円盤$${\beta}$$が取り付けられてあり、 その円盤$${\beta}$$が固定直線$${r}$$上を滑り動く。
本の図にあって説明にない「$${\beta}$$」が，ここでは注釈として書かれています。また，「縦棒の中央に点Ｐがあり」となっているので，本の図のＰの位置はおかしいことがわかります。
この説明でわかることは，曲線を描く平面そのものが回転していくということです。したがって，$${r=\theta}$$で描いた螺旋でみたような，角の動きとOPの拡大というイメージを持ちつつ，動径OPではなく平面の方を回転していきながら曲線を描いていくイメージを持つ必要があるのです。
では，この作図器を模してCinderellaで作図をしてみましょう。
① 円盤の中心が動いていく線を背景のx軸に合わせてとる。Pが固定されている縦線をy軸上にとる。（線分AB，CD）
② 「はじめに針Pが円盤$${\pi}$$の中心にある」となっているので，Pを原点にとる。作図上は点E。
③ x軸上に中心を持つ円$${\pi}$$を描く。半径は適当に。
④ ③の同心円で小さい円$${\beta}$$を描く。実際には動きには必要がないが。
作図ツールでできるのはここまでです。軌跡ツールで描けるのはCinderellaの描画面上を動く点の軌跡です。ですから，回転する平面（円盤）上の点の軌跡は軌跡ツールでは描けません。このことは，サイクロイドの場合と同じです。したがって，サイクロイドのときにやったように，CindyScriptで曲線を描いていくことにします。
次の図は，円が始めから右回りに少し回った図と，さらにもう少し回った図です。針（原点）はEをPに，円の中心FはOに名前を変えてあります。回った量がわかるように，円盤のx軸を青，y軸を緑で表示しています。角θが回った角です。（全体を少し拡大しています）
円盤から見ると，点Pは，第4象限にあって，OPの長さが拡大していきます。はじめに$${r=\theta}$$ で描いたときは第１象限からスタートしていたので180度位置が違うことになります。180度位置が異なる螺旋は次のようになります。
円盤上にはこの螺旋が描かれるわけです。そして，この円盤が角$${\theta}$$だけ右向きに回転しています。したがって，上の螺旋の図を，$${-\theta}$$回転し，動いた円盤の位置まで平行移動して描きます。このような回転や拡大，平行移動は複素数を使うとやりやすいでしょう。
s = O.x;
f(t):=(
z1 = s;
z2 = complex([tcos(t+pi), tsin(t+pi)]);
z3 = z1+z2*(cos(-s) + i*sin(-s));
gauss(z3);
);と定義して，右に回転したら plot(f(#), start -> 0, stop -> s, color -> [1,0,0])
左に回転したら plot(f(-#), start -> 0, stop -> -s, color -> [1,0,0]) とします。
s = O.x;
f(t):=(
z1 = s;
z2 = complex([tcos(t+pi), tsin(t+pi)]);
z3 = z1+z2*(cos(-s) + i*sin(-s));
gauss(z3);
);
// 円盤上の軸
p1 = O.xy + C1.radius*[cos(-s), sin(-s)];
p2 = O.xy + C1.radius*[cos(pi-s), sin(pi-s)];
p3 = O.xy + C1.radius*[cos(pi/2-s), sin(pi/2-s)];
p4 = O.xy + C1.radius*[cos(3pi/2-s), sin(3pi/2-s)];
draw([p1,p2],color -> [0,0,1]);
draw([p3,p4],color -> [0,1,0]);
// 螺旋
if(s > 0,
plot(f(#), start -> 0, stop -> s, color -> [1,0,0]);
,
plot(f(-#), start -> 0, stop -> -s, color -> [1,0,0]);
);
作図器を模して作ったのが次のページにあります。
