数学 作問2(関数、整数)

あおうしです。作問としては2本目の投稿です。
難易度低めのほんの少し抽象的な関数の問題です。
ではどうぞ…！

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解答

難易度：★★☆☆☆
時間：10〜20分程度

　いかがでしょうか。あまり見たことがないタイプかなとか思いながら楽しく作問しました。難易度はそこまで高くないからこそ(4)の証明は特に頑張って欲しいですね。
　簡単だった方のために質問を１つ。条件(ⅰ)〜(ⅲ)を満たすようなf(x),g(x)を考えてください。つまり係数は整数でなくてもいい、ということです。更に0でない実数kを連れてきます。さて、ここからが問題です。f(x)+g(x)とkf(x)のどちらが常に条件(ⅰ)〜(ⅲ)を満たすでしょうか？
解答は……
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　そうです！kf(x)ですね。元の問題の(4)の私が考えた解答がヒント(というかほぼ答え)です。では、f(x)+g(x)が何で条件を常に満たすとは言えないか分かりますか？
　まず、常に満たすのは条件(ⅲ)です。∫(f+g)dx=∫fdx+∫gdxと分解できるのが積分の性質でした。さて、条件(ⅰ),(ⅱ)は常に満たすとは限りません。
　まず(ⅰ)についてはf(0)+g(0)=0になる場合がありますね。例えばf(x)=3x²-x-1,g(x)=-3x²+x+1はいずれも条件(ⅰ)〜(ⅲ)を満たしますがf(0)+g(0)=0です。
　次に(ⅱ)についてですがこれはNとして1も2もとれるのでf(x)とg(x)で条件(ⅱ)を満たすような自然数が異なる値の場合f(x)+g(x)が条件(ⅱ)を満たすとは限りません。
　いろいろ話してしまいましたがこれまたなかなか面白い問題だったと思います。
　今回はここまで。では、また。