【フラクタル解説】FNFE Project #12「物流とは関係ない」

※今回より「基礎」フェーズから「標準・発展」に入るので、難解さが以前よりもπ倍、文字数がφ倍くらい上がりますが、そもそものテーマが難しくなってきてるので許してください。

どうもこんにちは。FNFE Projectへようこそ！
FNFE Projectでは「FNFE=For New Fractal Enthusiast（新たなフラクタル愛好家のため）」という理念の上、フラクタルについて分かりやすく解説していきます。
フラクタルについて全く知らなかったり、記事を読んだだけではなにがなんだかという人も楽しめるので是非読んでみてください！

今回は「ロジスティック写像」について解説していきます。

カオスすぎてカオス

「カオス」という数学用語があります。これは大雑把にいうと「特定の法則に従うにもかかわらず、予測不可能で複雑な動作をするもの」という意味です。
また「力学系」とは、一定の規則や式に従って状態が変化していくシステムのことです。
ロジスティック写像とは、2次関数と漸化式を用いて表される力学系で、カオスとフラクタルの特性を示します。
その式とは、以下のような形です。

xₙ₊₁=axₙ(1-xₙ)　※0≦x₀≦1、0≦a≦4

このxₙを適当に決めてa（パラメータといいます）を色々変えてみると、xₙの挙動が様々に、そして華やかに変化します。xₙが0から1の間を、収束したり周期的に変動したり、あるいはカオス的に飛び回ったりしていきます。
ということで、aを色んな値にした時のxₙの挙動について、函菜ちゃんと一緒に追っていきましょう。

すべてが0になる

aが0の時は、初期値であるx₀に関わらずx₁以降は全て0に回帰します。また0<a≦1の時は、xₙが少しずつ減少していき、n→∞の時は0に収束していきます。
私は暁山瑞希が好きなので、x₀を0.827に設定してグラフにプロットしてみましょう。
グラフの縦軸はxₙの値、横軸はxₙのnとすると、このようになります。

aを大きくすると、収束の速度がゆっくりになっていくことが分かりますね。
aが1未満の時は特に調べることもなくておもんないです。

（古堀函菜）新コーナー！！！用語解説タイム！！！！！！
xₙ₊₁=xₙとなるような点のことを不動点と言うよ。そして、xₙの周囲の軌道、つまり似たようなxₙの変化が吸い込まれて同じような変化に収束する不動点を吸引的とか漸近安定とか安定とか言うんだ。その逆は不安定とか反発的とか言われてるんだ。
特定の不動点が吸引的かを判定するには、写像をf(x)と、その微分をf'(x)と、不動点をx₀とした時、|f'(x₀)|<1になるかどうかを確かめるといいよ。|f'(x₀)|<1を満たせばその不動点は吸引的とわかるから、覚えておいてね！

アラクネー

ということで、ここでロジスティック写像を図示するもう一つの方法である「クモの巣図法」について紹介します。
パラメータがaで、初期値がx₀のロジスティック写像におけるクモの巣図法は、以下のような手順で描くことが出来ます。
① 0≦x≦1の範囲で、y=ax(1-x)という二次関数のグラフをプロットする。これをfと呼ぶ。
② 0≦x≦1の範囲で、y=xをプロットする。これをgと呼ぶ。
③ x=x₀の点からfに突き当たるまで垂直に線を引く。
④ その点からgに突き当たるまで水平に線を引く。
⑤ その点からfに突き当たるまで垂直に線を引く。
⑥ 後は④⑤の繰り返し。

ということで、折角なので実際にa=0.8の時のクモの巣図法を描いてみましょうか。

適当なところからx₀を引いてみましょう。

はい、クモの巣図法が描けましたね。
クモの巣図法では、xₙは0から1までの値を取るので、グラフでは0から1の範囲をプロットします。
また、③で突き当たる点は(x₁, x₀)に、④で突き当たる点は(x₁, x₁)に、⑤で突き当たる点は(x₂, x₁)になり、以降(x₂, x₂)、(x₃, x₂)、(x₃, x₃)、(x₄, x₃)という順番で突き当たっていきます。
線をなぞるだけでロジスティック写像が計算できるなんて、便利な世の中になったもんですね。

2Way

aが1を超えると、xₙは0ではない別の値に収束するようになります。
例えば、これはaが1.5の時の様子です。計算を続けると1/3に収束することが分かります。

a>2の時、xₙは0.5未満の値に収束します。
クモの巣図法はこんな感じになっています。これはa=1.5の時です。

1≦a≦2のときは、x=ax(1-x)となる解のうち0ではない解がxₙの不動点となるようです。では具体的にどんな値に収束するのでしょうか。
x=ax(1-x)を解くと、
x-ax(1-x)=0
x-ax+ax²=0
ax²-(a-1)x=0
(ax-(a-1))x=0
(ax-a+1)x=0　となるので、
x=0、ax-a+1=0が解となります。
そしてこのax-a+1はax=a-1と変形できるので、a=$${\frac{a-1}{a}}$$、つまり1-$${\frac{1}{a}}$$となります。

aが2を超えてもxₙは1つの値に収束しますが、収束の仕方が変化します。

何か気づくでしょうか。
そうです。a≦2の時はx₀を除けば大きくなる一方（単調増加）か小さくなる一方（単調減少）かの二択だったのですが、2≦a<3の時は大きくなったり小さくなったり、振動するかのようにして収束していきます。
振動はしていますが、ちゃんと不動点に落ち着くようになっています。吸引的な不動点は引き続き1-$${\frac{1}{a}}$$となります。
aが大きくになるにつれ、収束はゆっくりになっていきます。そして3を上回ると、あることが起こります。

2ⁿがログインしました

aが3を超えると、xⁿは1つの点に収束しなくなり、2つの点を行ったり来たりする軌道に落ち着くようになります。

このように周期が2倍になる変化を周期倍化分岐といいます。またaが3を超えると、|f'(x₀)|が1を上回り、1-$${\frac{1}{a}}$$の不動点は不安定なものとなります。このようにxₙが一定のサイクルで変化するような軌道を周期軌道といい、周期軌道を構成する点を周期点といいます。
ここで注意してほしいのが、今まであった不動点は不安定となってもまだ残っているということです。aが3を超えても全てのx₀において周期軌道に吸引されるわけではありません。x₀=0の時や、x₀=1のようにxₙがどこかで0になるx₀は周期軌道に入らないし、x₀=1-$${\frac{1}{a}}$$の時はそこからはずっと$1-$${\frac{1}{a}}$$の不動点に入ります。
今まで見てきた挙動たちはあくまでも吸引的な不動点の挙動を見ていただけですし、これからも吸引的な不動点の軌道を見ていきます。

周期点ではxₙ=xₙ₊₂となります。L(a,x)=ax(1-x)とすると、周期点ではxₙ=L(a, L(a, x))と挙動を表すことができます。これを展開するとa²x(1-x)(1-ax(1-x))となり、x=a²x(1-x)(1-ax(1-x))となる点が周期点と分かります。
四次方程式とかいう引くほど煩雑な計算ですが、この方程式を解いてみるとこんな感じになり、この解が周期点となります。
$${\frac{a+1±\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a}}$$

a²x(1-x)(1-ax(1-x))という写像についても周期点xₖについて|f'(xₖ)|を調べると、aが1+√6を上回った地点、つまり約3.44949を超えると1を上回ります。そして今までの2周期の軌道が不安定なものとなり、また新たな軌道が現れます。それは…
4周期の軌道です。

ここから周期は2倍ずつ、つまり倍倍ゲームで増えていきます。
この地点での周期点はxₙ=xₙ₊₄となりますが、xₙ₊₄をax(1-x)の組み合わせ表そうとすると嫌がらせみたいな16次方程式が誕生します。なのでそれを基に周期点を求めるのははっきり言って天才ロボットじゃないと無理です。ちょっとずつカオスの本髄、予測不可能性が出てきましたね。
その嫌がらせ16次方程式（実際は幾らかまとめて12次方程式にできる）についても|f'(x₀)|を調べると、さらにaが大きくなるとまた1を超えることが分かります。8周期軌道です！！！！
この8周期軌道も|f'(x₀)|を調べると（256次方程式です。計算することさえ婉曲的な自傷となりそうな終わってる式です。）これもaが大きくなると1を超えることが分かります。
ここで、周期が2倍になる分かれ目のaは、aが大きくなるとともに間隔が狭まっていきます。

周期倍化分岐が起こるaはどんどんペースが速く／早くなっていきますが、その分周期倍化分岐は何度でも起こります。この流れをカスケードと言います。
ここでなんか察した人もいると思います。

これ。。。そのうち周期無限になるんとちゃうんか？？？
👆こう考えられていた人はいい視点で読めています。

そうです！！！！周期が無限になり、カオスが現れます！！！！

カスタード・バウムクーヘン

ようこそカオスへ、カオスよようこそ。(?)
aが$${a_∞}$$≈3.5699456を超えると、ロジスティック写像はカオス状態になり、xₙの変化が規則性を持たなくなります。確率で決まる要素が無いのにもかかわらず、こどんな変化をするのか予想できない状態がカオスというわけです。
パラメータがちょうどカオスとカスケードの間、つまり約3.56994の地点では、xₙの周期は無限大となり、周期点が無限個入るような吸引的な軌道となります。この軌道の事をファイゲンバウム・アトラクタといいます。
ファイゲンバウム・アトラクタには無限個の点が属しますが、アトラクタに属する点同士の間には必ず属さない点が存在します。カントール集合みたいな感じですね。また、ファイゲンバウム・アトラクタのハウスドルフ次元は約0.5380451435であると計算されています。
aが$${a_∞}$$より大きいところでは、初期値がほんっっっっっっっっっっっの少し違うだけでもその後の挙動が大きく変化する現象が見られます。これを初期値鋭敏性といいます。

これはa=3.7で、赤の初期値を0.827、青の初期値を0.827000000000001として計算したものです。途中まではほぼ同じ軌道を進んでいたのにもかかわらず、100のあたりから大きくずれている様子が分かります。
このような少しの変動でも大きく結果が変わる様子はバタフライ効果ともいわれています。名前の由来は「蝶のはためきが遠くの場所で竜巻を起こし得るか？」という何とも洒落た比喩・例え話からだと言われています。

忘れてほしくないのはこの状態でも周期点に吸引されることがあるということです。先ほどの3.6のグラフで、4本の線のようなものが見えていたと思います。あれはxₙが4周期不安定軌道の周期点にめちゃくちゃ近くなっていたからです。不安定軌道には1周期も2周期も8周期もなんでもあり、何かのきっかけで吸引されることもあります。

釁隙

👆きんげき、と読みます。意味は「隙間」です。
カオスの軌道には、xₙが取り得る範囲と取り得ない範囲があることが分かると思います。

0.6から0.8くらいの範囲に、ぽっかり空いた領域があります。そこだけではなく、0.43～0.47くらい、0.89～0.9らへんにもxₙが入らない隙間があります。

これは隙間がありません。

これは隙間が1つ。

このように分かれている部分をバンドといいます。バンドが2個になる約3.678の地点からaを小さくしていくと、バンドの数は周期倍化分岐のように2倍ずつ、ペースを速めながら増えていき、最後には無限個になります。この地点がファイゲンバウム・アトラクタですね。
xₙはそれぞれのバンドを順番に巡回するようにして変化していきます。興味深いですね。

繰り返した部屋の中

〽今日は何して遊ぼうか～（元ネタ）

aが3.5699456を超えた地点でも、安定軌道が周期軌道となることもあります。このような範囲を窓といいます。
窓の中でもカオスは引き続き存在していますが、不安定軌道となってどっかに隠れてしまっています。さっきまではカオスの中に不安定な周期軌道が隠れてる形だったのに、完全にパワーバランスが逆転している形となります。
この辺りでは、
➀安定軌道である周期軌道
②不安定軌道であるカオス
③不安定軌道である周期軌道（0や1-$${\frac{1}{a}}$$などで見られる）
の3つが現れます。つまり3重人格です。つまり実質ティーチくんです。（どういうこと？）

カオスから窓に遷移しようとしている領域では面白い現象が見られます。それは不規則に変化する部分とほぼ周期的な部分が交互に現れるというものです。

不規則な部分はバーストと、規則的な部分はラミナーと呼ばれます。（ラミナーには層流・薄板状という意味があります）
バーストとラミナーにはそれぞれ規則性は見られませんが、ラミナーは不安定周期点にxₙが近づいたことから、あるいはクモの巣図法においてfʳ(xₙ)（f(x)はロジスティック写像、rはラミナーの周期）のグラフとy=xのグラフの間のごく細い隙間を何度も反復しながら軌道が通過することから生まれる現象です。
ここからaを大きくするとラミナーが長く多くなっていき、

さらに大きくすると周期軌道が安定なものとなります。

カオスから窓に遷移する時にはラミナーが現れました。では窓からカオスに再び戻る時にはどんな挙動を示すのでしょうか。

そうです！！！！！また周期倍化分岐を無限回繰り返すカスケードが起こるのです！
先ほどまで3周期軌道に吸引されていた窓は、aが大きくなると6周期、12周期、24周期と周期を2倍ずつで増やしていき、それに伴い周期が大きくなるまでの間隔も狭まっていきます。
そしてaが一定の値を超えると窓が終わり（この3周期の窓であれば約3.8495が安定軌道の終わり）、再び非周期のカオス的な軌道に戻ります。この時、バンドの数は最初は3×2ⁿの形ですが、徐々に融合していき最後は3つになります。
窓の中のカオスにも、更に安定な窓は存在しています。a=3.8537などが分かりやすいです。

その窓の終わりにはさらにカオスがあってその中にはさらに窓があって…以下無限に繰り返しです。フラクタル要素が出てきましたね。
さて、窓が終わると再びバンドの数が窓の始まる前に戻るわけですが、ここで面白い現象が起こります。それはクライシスと呼ばれるものです。
クライシスとは、xₙの取り得る値の範囲が緩やかに広がっていくのではなく、非連続的に突然広がる現象です。
例えば、周期3の窓の終わりは約3.8569で、ここを境目にバンドの数が3つと1つに分かれるのですが…

はい。バンド同士の隙間に、なだれ込むようにxₙが入り込んでいることが分かります。このように、緩やかに推移するのではなく、突然バンドの数が変わる現象がクライシスというわけですね。
窓の終わりのクライシスは特に内部クライシスと呼ばれます。内部クライシス直後ではラミナーとバーストに似たような挙動が見られます。

窓は無限個存在します。また、3以上のすべての自然数の周期を持つ窓が存在します。

窓にはそれぞれ固有の周期があり、同じ周期の窓が複数個発生することもあります。周期が大きい窓ほど多数発生しますが、その分個々の窓の幅は狭くなります。
pが素数の場合だけですが、周期pの窓の数は$${\frac{2^{p-1}-1}{p}}$$で計算できます。

行くとこまで行け

a=4では、最もカオスが強い状態となります。

この時、xₙは[0,1]全体を巡るような軌道となります。xₙは0付近や1付近を特によく通り、0.5付近はあまり通らないという性質があります。

a=4の時の軌道には安定なカオス軌道に加えて、不安定なあらゆる周期の周期的軌道が存在しています。ほぼすべてのx₀でxₙはカオス的な軌道を示しますが、0, 0.5, 0.75, 1といった点やそれらに辿り着くx₀は1周期軌道に吸引されますし、他にも無数の周期軌道が存在します。

（古堀函菜）体験学習コーナー！！！a=4のロジスティック写像の1,2周期点を求めてみよう！！！
a=4のロジスティック写像、つまり4x(1-x)をf(x)と、関数f(x)をn回重ねる動作をfⁿ(x)とするよ。
xₙの周期がkであるということは、xₙ=xₙ₊ₖ、つまりxₙ=fᵏ(x)ということ！だからk周期点を求めたいときはx=fᵏ(x)となるxを求めたらいいわけだね。

まず1周期点から。x=f¹(x)を求めたいから、x=f(x)、つまりx=4x(1-x)を求めたらOK！じゃあ早速求めていこう。

まず式を変形しよう。
x=4x(1-x)
4x(1-x)=x
4x(-x+1)=x
-4x²+4x=x
-4x²+3x=0

これで2次方程式の解の公式に当てはめてみると…
$${x=\frac{-3±\sqrt{3^2}}{2(-4)}}$$
$${x=\frac{-3±3}{-8}}$$
よって、x=0, $${x=\frac{3}{4}}$$だね！
この2つの点がロジスティック写像における1周期点、つまり不動点となるよ！！！

それじゃあ次は2周期点を求めてみよう！x=f²(x)だから、式はどうなると思う？ちょっと考えてみて！シンキングタイム！！！！！

正解発表！！！！！！！！！
答えは！！x=16x(1-x)(1-4x(1-x))だね！
え！？4次方程式！？待って待って待って！？？！！？？って言われそうだけど大丈夫！このまま計算できるよ！なぜならいくつかの簡単な方程式の積にできるから！
それじゃあこのまま変形を続けてみよう。
x=16x(1-x)(1-4x(1-x))
16x(1-x)(1-4x(1-x))=x
16x(1-x)(1-4x(1-x))-x=0
（引くほどめんどくさい展開は省略）
-64x⁴+128x³-80x²+15x=0
-x(64x³-128x²+80x-15)=0
-x(4x-3)(16x²-20x+5)=0
ここで、式を3つに分けて、
➀-x=0
②4x-3=0
③16x²-20x+5=0
➀から、x=0　②から、$${x=\frac{3}{4}}$$
③を2次方程式の解の公式に当てはめると、
$${x=\frac{-(-20)±\sqrt{(-20)^{2}-4\cdot 16\cdot 5}}{2\cdot 16}}$$
$${x=\frac{20±\sqrt{80}}{32}}$$
$${x=\frac{20±4\sqrt{5}}{32}}$$
$${x=\frac{±\sqrt{5}+5}{8}}$$
の4つが2周期点…に見えるけど、pがqの約数の時q周期点はp周期点でもあるから、0と$${\frac{3}{4}}$$は除いて、$${x=\frac{±\sqrt{5}+5}{8}}$$が2周期点だね！
ちなみに最初は3周期点もやってみようとしたけど64x(1-x)(1-4x(1-x))(1-16x(1-x)(1-4x(1-x)))っていうヤバい式が出来たからやめたよ。(笑)もし暇ならやってみたら？笑

aが4を超えると、xₙはマイナス無限大に向かって発散するようになります。このような変化を境界クライシスといいます。
基本的にほぼすべてのx₀でxₙはマイナス無限大に発散するのですが、いくつか発散しないような点も見られます。不動点や周期点などもそうですが、いくつかカオス的な軌道を示しながら永遠に[0,1]の範囲に留まり続けるようなxₙも存在します。最初に見せたa=4.01のプロットの100くらいまでの感じが一生続く感じです。
面白いですね。

軌道のカタログ

ということで、今までの軌道を全部一挙に見渡せるような図を描いてみましょう。それは軌道図と呼ばれるものです。
軌道図は、x₀を適当に決め、xₙの不動点や周期点を縦軸に、aを横軸に徐々に変えていきプロットすることで出来る図です。
このとき、xₙがカオス的軌道に吸引されるときは、xₙが多く通る範囲の色を濃く、あまり通らない範囲の色を薄く表記します。
ということで！！！実際に書いてみると、こうなります。

はい。こうしてみると、窓の構造やカスケード、窓の始まりや終わりがよく見えますね。xₙがよく通るところやあまり通らないところも連続的に変化しているのがわかります。
また、窓の中のカスケードなどのフラクタル構造も見られます。
ロジスティック写像はカオスとフラクタルの橋渡しともいえる面白い挙動を示すのです。

ちなみにロジスティック写像は生物の個体数の推移を表現するためのモデルとして考案されました。xₙは個体数を、パラメータaは繁殖率を示していました。同じ空間に個体が少ないと→次の世代では大きく個体が増え、個体が多ければ→次の世代では個体数が小さくなる、というわけですね。

！？！？！？？？！！！！？？

実はずーっと居ました

（？？？）どうもこんにちは。解説おねえさんです。

颯爽と現れては読者の誤解や疑問を解いたり発展的なことを説明していきます。はてなとかいい視点みたいな感じだと思っててください。

実はマンデルブロ集合とロジスティック写像にはある関係があります。マンデルブロ集合のi=0の領域では、a+biがロジスティック写像と対応した挙動を示すのです。

マンデルブロ集合に属する点にも軌道や周期という概念があり、収束する時の複素数の変化を軌道と、収束後z²+cという式を何回繰り返せば元のzₙに戻るのかを周期と言います。
例えば-1であれば、
➀-1
②(-1)²-1=0
③0-1=-1
と2回変換を施せば値が元に戻るため、-1のマンデルブロ集合上での周期は2ということになります。
実はマンデルブロ集合では、c=0.25の軌道がa=1のロジスティック写像のような軌道を示してzₙ=0.5に収束していくというように、実数をcに取るとロジスティック写像の挙動が現れます。
マンデルブロ集合の円盤領域の周期は、ロジスティック写像の安定軌道の周期と一対一で対応しています。窓にあたる領域には飛び地が出来ていることや、カオス領域にあたる領域では非周期的にzₙが変化していきます。
まあこの辺りの話は、長くなるので追い追い、というわけで。今はつかみだけでも知っておいてください。
では。

ということで新キャラ解説おねえさんでした。ありがとうございました。

まとめ

今回はロジスティック写像について調べました。ロジスティック写像はaを変えると様々に挙動が変化し、カオスと言って一定の式で出来るのに規則性が見られない挙動も見られることが分かりました。
またロジスティック写像のaを変えてxₙの軌道を調べてみるとフラクタルの性質を持つ図形が現れることが現れました。単純な二次関数の式からあんなに複雑な図形が現れるなんて驚きですね。
しかもマンデルブロ集合と深い関係があるということで。今後の珠莉亜×函菜が楽しみですね。
次回はマンデルブロ集合の変種を更に詳しく見ていきます。9/1に公開予定です。お楽しみに！！！！！！

参考にしたサイト

https://ocw.hokudai.ac.jp/wp-content/uploads/2016/01/ChaosFractal-2011-Note-02.pdf

👆もしかしてpdfは埋め込めないのか？

※この記事で使用した画像は全て自作かパブリックドメインのものです。

余談

今日は僕の大好きな暁山瑞希の誕生日なので記事に気合いがめちゃくちゃ入っています。（TeXで多少ズレるとはいえ1万文字超えちゃったテヘペロ。）
ティーチくんは全部見たことがあります。もうすぐで2年はファンです。
僕の記事が一生FNFEだけではつまらないと思うので現在漢字についての記事を書いています。9月10日から9月16日までのどこかで出せたらいいなと思います。見たい人は生きてください。
ファンアートの需要が乗法単位元くらいは出て来たと思います。ファンアートは#FNFEFAまで。