1次独立と1次従属

線形代数の基本的な概念として 1次独立 と 1次従属 があります。
まずは2次元平面上のベクトルを例にして考えましょう。

2次元平面の場合

2つのベクトルを

$$
\mathbf{a},
\mathbf{b}
$$

とします。

1次独立

$${\mathbf{a}}$$ を $${\mathbf{b}}$$ の実数倍で表すことができない場合、
この2つのベクトルは 1次独立 といいます。

1次従属

逆に、もし $${\mathbf{a}}$$ と $${\mathbf{b}}$$ が平行で、

$$
\mathbf{a} = k\mathbf{b}
$$

となるような実数 $${k}$$ が存在すれば、2つのベクトルは 1次従属 です。

3つのベクトルを考える

平面上に $${\mathbf{a}, \mathbf{b}}$$ が1次独立に存在するとします。
ここに第3のベクトル $${\mathbf{c}}$$ を置きます。

このとき、

$$
\mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}
$$

と表せるので、$${\mathbf{c}}$$ は $${\mathbf{a},\mathbf{b}}$$ の 1次結合 で表されています。
したがって、3つのベクトル $${\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}}$$ は 1次従属 です。

3次元空間の場合

次に、3次元空間を考えます。

2つのベクトル

$$
\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
$$

が1次独立であるとします。
ここで第3のベクトル $${\mathbf{c}}$$ を考えましょう。

• もし $${\mathbf{c}}$$ が $${\mathbf{a},\mathbf{b}}$$ の張る平面内に存在するならば

$$
\mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}
$$

と書けるので、3つのベクトルは 1次従属。

• 逆に $${\mathbf{c}}$$ がその平面上にないなら、3つのベクトルは 1次独立 です。

一般の定義

$${n}$$ 次元空間で、$${m}$$ 個のベクトル

$$
\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_m
$$

を考えます。

1次従属

もし0でない係数 $${c_1, c_2, \dots, c_m}$$ が存在して

$$
c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0}
$$

となるならば、これらのベクトルは 1次従属 です。
このとき、いくつかのベクトルは他のベクトルの1次結合で表せます。

1次独立

逆に、もし上式を満たす係数が

$$
c_1=c_2=\cdots=c_m=0
$$

のときに限られるなら、これらのベクトルは 1次独立 です。

まとめ

• 1次独立：どのベクトルも他のベクトルの1次結合で表せない

• 1次従属：少なくとも1つのベクトルが他のベクトルの1次結合で表せる

2次元では「平行かどうか」、3次元では「同一平面上にあるかどうか」が直感的な基準になります。