【質的選択モデル②】最尤推定から導けるMLEと推計結果の正しい解釈📊：計量経済学✨No.27

2023年9月19日 19:03

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖
本投稿作成における参考文献は以下の通りです

前回のお復習い✨

2値プロビット・モデルと最尤推定問題🌟

$$
\\Probit Model
\\f(Y_i|X_i;\beta_0,\beta_1) = \begin{cases}
\Phi(\beta_0+\beta_1X_i) &\text{for} Y_i =1\\1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)&\text{for } Y_i=0 \\0 &\text{}elsewhere
\end{cases}\\ \\ \\={\large [}\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{Y_i}{\large [}1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{1-Y_i}\\ \\ \\
\\Joint Probability Function\\
f(Y_1,Y_2,･･･,Y_n|X_1,X_2,･･･,X_n;\beta_0,\beta_1)\\ \\=\displaystyle\prod_{i=1}^nf(Y_i|X_1,X_2,･･･,X_n;\beta_0,\beta_1)\\ \\=\displaystyle\prod_{i=1}^nf(Y_i|X_i;\beta_0,\beta_1)\\ \\=\displaystyle\prod_{i=1}^n{\large [}\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{Y_i}{\large [}1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{1-Y_i}
$$

このように、プロビットモデルにおける
同時確率関数を導出した後に、尤度関数(likelihood function)を用いて2値プロビット・モデルの推定を進めていくことにします

$$
\\Likelihood Function \\
L(\beta_0,\beta_1;Y_1,Y_2,\cdots,Y_n,X_1,X_2,\cdots,X_n)\\ \\=\displaystyle\prod_{i=1}^n{\large [}\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{Y_i}{\large [}1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{1-Y_i}
$$

そして、この2値プロビットモデルの推定方法では、次に示す対数尤度関数(log-likelihood function)を最大とするような係数β0,β1を
求めていくことになります

$$
\\Log-Likelihood Function \\ \\
InL(\beta_0,\beta_1;Y_1,Y_2,\cdots,Y_n,X_1,X_2,\cdots,X_n)\\ \\=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\large [}Y_i In \{\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)\}+(1-Y_i) In\{1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)\}{\large ]}
$$

したがって、私たちが直面するML問題は
以下のように定式化することができるのです

$$
ML Problem\\ \\\max_{\beta_0,\beta_1}\displaystyle\sum_{i=1}^n{\large [}Y_i In \{\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)\}+(1-Y_i) In\{1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)\}{\large ]}\\ \\we get MLE(\beta_0,\beta_1)\\Maximum Likelihood Estimator
$$

以下に示す一階条件式(1)、式(2)を解いてから、この最尤推定値を導出することになります
Φ(・)は標準正規分布の確率密度関数より
以下のように定式化されます

$$
\phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)={\large\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}exp{\Large(}\frac{(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)^2}{2}{\Large)}
$$

最尤推定値の導出に必要な1階の条件式(1)と(2)からなる連立方程式の導出過程は以下の通りです

$$
F.O.C:Formula(1)\\ \\{\large\frac{\partial InL}{\partial\beta_0}}=0\\ \\\Lrarr \displaystyle \sum_{i=1}^n {\LARGE [ } \frac{Y_i}{\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}\cdot \frac{d\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{dz}\\ \\ -\frac{1-Y_i}{1- \Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}\cdot \frac{d\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{dz}{\LARGE ] }=0\\ \\ \\\Lrarr \displaystyle \sum_{i=1}^n {\LARGE [ } \frac{Y_i\phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{ \Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}-\frac{(1-Y_i)\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{ 1-\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{\LARGE ] }=0\\ \\ \\\Lrarr \displaystyle \sum_{i=1}^n {\LARGE [ } \frac{(Y_i-\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i) \Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i) }{\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)(1-\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i))}{\LARGE ] }=0\cdots (1)

$$

$$
F.O.C:Formula(2 )\\ \\{\large \frac{\partial InL}{\partial\beta_1}}=0\\ \\\Lrarr \displaystyle \sum_{i=1}^n {\LARGE [ } \frac{Y_i X_i}{\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}\cdot \frac{d\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{dz}\\ \\ -\frac{(1-Y_i)X_i}{1- \Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}\cdot \frac{d\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{dz}{\LARGE ] }=0\\ \\ \\\Lrarr \displaystyle \sum_{i=1}^n {\LARGE [ } \frac{Y_iX_i\phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{ \Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}-\frac{(1-Y_i)X_i\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{ 1-\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)}{\LARGE ] }=0\\ \\ \\\Lrarr \displaystyle \sum_{i=1}^n {\LARGE [ } \frac{(Y_i-\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i))X_i \Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i) }{\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i)(1-\Phi(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i))}{\LARGE ] }=0\cdots (2)
$$

このような形で、2値プロビットモデルの
最尤推定を実施します

しかし、(1)と(2)からなる連立方程式は
解析的に解けないことが知られています
したがって、統計解析ソフトウェアを用いて数値的に解き、最尤推定値である（β0^,β1^）を求めていくことになるのです💛

プロビット・モデルを推定した結果🔖

係数の解釈には少し注意が必要となります
2 値プロビット・モデルなどの2値応答モデルの係数は「被説明変数への影響度合い(説明変数が1単位増加すると被説明変数が何単位変化する傾向があるか)」を表しません📝

すなわち係数の値そのものに意味はないのです
よって、この係数の値がどれくらいの意味を持っているのかを解釈することはできません

プロビットモデルの係数における推計結果より、係数の符号の向きと統計的有意性のみを
確認できるのです🌟

被説明変数への定量的な影響度合いを見る
方法は、次回の投稿で説明することにしましょう💝

本日の解説はここまでとします🔥
次回も引き続きプロビットモデルについて解説します

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

今後これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読ください💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
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今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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