行列の基本用語まとめ【データサイエンス発展】

2025年12月28日 18:20

正方行列（square matrix）

正方行列とは、行数と列数が等しい行列のことを指す。

行数と列数がともに n の場合、
この行列は n × n 行列と呼ばれる。

例として、次の行列は正方行列である。

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
$$

一方で、行数と列数が異なる行列は正方行列ではない。

正方行列であることは、
後に学ぶ対角行列・単位行列・逆行列などを定義する前提条件になる。

対角行列とは、主対角成分（左上から右下に並ぶ成分）以外がすべて 0 の正方行列である。

主対角成分とは、
行番号と列番号が一致する位置（i=j）の成分を指す。

例：

$$
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
$$

この行列では、

となっている。

対角行列は 必ず正方行列であり、
正方行列でないものは対角行列にはならない。

単位行列とは、主対角成分がすべて 1、それ以外がすべて 0 の対角行列である。

例（3×3 の単位行列）：

$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

単位行列は、

という特徴を持つ。

サイズに応じて
I_2, I_3, I_n などと書かれることが多い。

転置行列とは、行と列を入れ替えた行列のことを指す。

ある行列 A に対して、
転置行列は A^T と表される。

要素の対応としては、

$$
A_{ij} \rightarrow A_{ji}
$$

となる。

例：

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^\top = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
$$

このように、

へと形が変わる。

転置行列は、行列のサイズを入れ替える操作であり、
数値自体は変えず、配置のみを変える。