【数学Ⅰ】式の展開・因数分解【高校数学】
1. 式の展開（かけ算の形 → 足し算の形）
式の展開とは、かけ算の形をたし算・ひき算の形に書きかえることです。
中学校で学んだ分配法則を利用して行います。
$$
{\large{ a(b+c)=ab+ac} }
$$
この公式を使うことで、複雑な式でも計算がしやすくなります。
2. 展開の基本：乗法公式
2乗に関わる展開は、次の公式を使うとすばやく処理できます。
（1）和の2乗
$$
{\large{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 } }
$$
（2）差の2乗
$$
{\large{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 } }
$$
（3）和と差の積
$$
{\large{(a+b)(a-b)=a^2-b^2 } }
$$
これらは「平方公式」と呼ばれ、以後の単元でも頻繁に使います。
3. 例題（展開）
例題1
$${\large{(3x+2)^2 } }$$
解法
和の2乗公式を使う。
$${\large{(3x)^2 + 2\cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 } }$$
例題2
$${\large{(2x−5)(2x+5) } }$$
解法
和と差の積の公式を使用。
$${\large{(2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25 } }$$
4. 因数分解（足し算の形 → かけ算の形）
因数分解とは、与えられた式をかけ算の形に分解することです。
展開の逆の操作だと考えると理解しやすいです。
基本の形
共通因数でくくる
$$
{\large{ax+ay=a(x+y) } }
$$
平方公式の逆
$${\large{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 } }$$
$${\large{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 } }$$
$${\large{a^2-b^2=(a+b)(a-b) } }$$
5. 例題（因数分解）
例題3
$${\large{6x^2 + 9x } }$$
解法
すべてに共通する数と文字でくくる。
$${\large{3x(2x + 3) } }$$
例題4
$${\large{x^2 - 9 } }$$
解法
平方の差$${\large{（a² - b²）} }$$の形。
$${\large{x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3) } }$$
6. 応用：2次式の因数分解
次数が2の式は、
$${\large{ ax^2 + bx + c} }$$
の形に整理すると因数分解しやすくなります。
● ac法（分解法）
まず「$${\large{ac } }$$の値」を使って2つの数に分ける
その後、共通因数でくくる
例題で見てみましょう。
例題5
$${\large{x^2 + 5x + 6 } }$$
解法
$${\large{ac = 6 } }$$
「かけて６」を「足して５」になるペア → ２と３
中項を$${\large{5x=2x+3x } }$$であると考えて、
$${\large{ x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x+2) + 3(x+2)} }$$
これを$${\large{(x+2) } }$$でまとめると
$${\large{(x+3)(x+2) } }$$
7. 練習問題
【演習A：展開】
$${\large{(x+4)^2 } }$$
$${\large{(2x-3)^2 } }$$
$${\large{(3x+1)(3x−1) } }$$
【演習B：因数分解】
$${\large{4x+12 } }$$
$${\large{x^2 + 4x + 3 } }$$
$${\large{9 - y^2 } }$$
【演習C：チャレンジ】
1.$${\large{(x+2)^2 - (x-3)^2 } }$$
2. $${\large{(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3) } }$$
3. $${\large{(2x-5)^2 - 8(2x-5) } }$$
８．演習問題の解答
【演習A：展開】
1.
$${\large{(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 } }$$
2.
$${\large{(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 } }$$
3.
$${\large{(3x+1)(3x-1) = 9x^2 - 1 } }$$
【演習B：因数分解】
1.
共通因数4でくくる：
$${\large{4x + 12 = 4(x+3) } }$$
2.
かけて 3、足して 4 → 1 と 3：
$${\large{x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) } }$$
3.
平方の差：
$${\large{9 - y^2 = 3^2 - y^2 = (3+y)(3-y) } }$$
【演習C：チャレンジ】
平方の差の形にする：
$${\large{ (x+2)^2−(x−3)^2} }$$
$${\large{ =((x+2)+(x−3))((x+2)−(x−3))} }$$
$${\large{ =(2x−1)(5)=5(2x−1)} }$$
2.
$${\large{(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3) } }$$ それぞれ展開する
$${\large{ = (x^2 - 4x + 3) + (x^2 + 4x + 3) } }$$
$${\large{= x^2 - 4x + 3 + x^2 + 4x + 3 } }$$ これを整理すると
$${\large{= 2x^2 + 6 } }$$
$${\large{=2(x^2+3) } }$$
3.
$${\large{ (2x-5)^2 - 8(2x-5) } }$$
$${\large{=(2x-5)((2x-5) - 8)}}$$ ←$${\large{(2x-5) } }$$でくくる
$${\large{=(2x-5)(2x - 13)} }$$
