平均の周りにどれだけ散らばるか：分散・標準偏差・変動係数

「データ分析のための統計学」の第6回です。

この記事前半の「初心者向け本編」は無料で読めます。架空の業務データを使い、手計算、完全解答、確認リストまで丁寧に進みます。後半の「数学的にもう一歩」では、定義、導出、反例、再現計算まで掘り下げます。

初心者向け本編

この回で答える問い

平均処理時間が同じ二つの工程について、どちらが安定しているかをどう比べればよいのでしょうか。

先に結論

分散は平均との差を二乗して平均した量、標準偏差はその平方根です。標準偏差は元の単位に戻るため、「処理時間の散らばりが何分程度か」を読む入口になります。ただし平均的な誤差や全観測が収まる幅ではありません。変動係数CVは標準偏差を平均で割る相対尺度ですが、意味のある0がない尺度、負値、平均0付近には使いません。

同じ平均でも安定性が違う

平均14分の工程でも、すべて14分付近なら予測しやすく、2分と26分が混ざるなら待ち時間設計が難しくなります。平均だけではこの違いを表せません。

例は架空の注文処理時間です。実在する工程の測定値ではありません。

分散・標準偏差・CVの単位

分析単位は1注文、変数は processing_minutes、単位は分です。

• 偏差：各値から平均を引いた量。単位は分。

• 分散：二乗偏差の平均。単位は分の二乗。

• 標準偏差SD：分散の平方根。単位は分。

• 変動係数CV：SD/平均。無次元で、しばしば％表示する。

今回の5件を対象期間の全注文とみなす初心者計算では分母を5とする母分散を使います。継続工程から抽出した標本として母分散を推定する場合は、数学編の標本分散へ切り替えます。

最小データで手計算する

処理時間を 10,12,14,16,18分 とします。平均は14分です。

図から、偏差が平均の左右で相殺するため二乗する流れを読み取れます。将来の注文の範囲は示していません。

値：10
偏差：-4
二乗偏差：16

値：12
偏差：-2
二乗偏差：4

値：14
偏差：0
二乗偏差：0

値：16
偏差：2
二乗偏差：4

値：18
偏差：4
二乗偏差：16

二乗偏差和は40です。

母分散 = 40/5 = 8 分²
母標準偏差 = √8 = 2.828427...分
CV = 2.828427.../14 × 100 = 20.203...％

表示は最後に丸め、SDを2.83分、CVを20.2％とします。

結果をどう読むか

「この5注文の処理時間は平均14分で、母標準偏差は約2.83分」です。SDは元の分単位なので分散8分²より直感的ですが、「各値が平均から平均2.83分ずれる」という平均絶対偏差の意味ではありません。

また、平均±SDに必ず一定割合が入るとは限りません。分布形を確認せずに正規分布の経験則を当てはめません。

成立条件と確認する順番

1. 分析単位、単位、対象が全数か標本かを決める。

2. 平均と各偏差を計算し、偏差和が丸め前に0付近か確認する。

3. 母分散ならn、標本分散ならn-1という分母を記録する。

4. 平方根を取り、SDを元の単位で表示する。

5. CVなら比例尺度、正の非ゼロ平均を確認する。

6. 分布図、中央値、IQR、件数を併記する。

使わない条件、代替案、併記する指標

• 満足度1〜5など順序尺度へ、間隔が等しい根拠なしにSDを適用しません。度数、中央値、分位点を使います。

• 摂氏温度のように意味のある0がない尺度へCVを使いません。

• 平均が0付近、または負値を含む損益差などにCVを使いません。SD、IQR、MADを元単位で示します。

• 強い歪みや極端値がある場合は、中央値・IQR・MADと分布図を併記します。

• SDを標準誤差SEと混同しません。SEは第14回で推定値の揺れとして扱います。

典型的な誤読と反例

「CVなら単位の違う何でも比較できる」は誤りです。-0.9,0.1,1.1 の平均は0.1、標本SDは1なのでCVは1,000％です。同じ散らばりの 9,10,11 は平均10、標本SD1、CV10％です。原点移動だけで100倍違うため、意味のある0がない尺度では不適切です。平均が0ならCVは定義できません。

初心者向け演習

全4注文の処理時間が 2,4,6,8分 でした。母平均、母分散、母SDを求め、結果を解釈してください。

解答

平均は (2+4+6+8)/4=5分 です。偏差は -3,-1,1,3、二乗偏差は 9,1,1,9、合計20です。

母分散 = 20/4 = 5分²
母SD = √5 = 2.236...分 ≈ 2.24分

「対象4注文の平均は5分、母SDは約2.24分」と言えます。4件が母集団を代表すること、平均±2.24分に将来値が一定割合で入ることは言えません。

実務で使う確認リスト

• □ 母集団記述か標本推定かを決めた

• □ 分母nまたはn-1を記録した

• □ SDの単位を元変数とそろえた

• □ SDを平均絶対偏差やSEと呼んでいない

• □ CVの0・負値・比例尺度条件を確認した

• □ 分布図、中央値、IQRの併記を検討した

• □ 丸めを最終表示だけで行った

初心者向け参考情報

• データの散らばりを見る（総務省統計局。分散と標準偏差）

• Measures of Scale（NIST。SD、IQR、MAD等）

• Coefficient of Variation（NIST Dataplot。CVの定義と注意）

資料は改訂される場合があるため、最新の内容は出典先を確認してください。

この回のまとめと学習順

SDは平均周りの散らばりを元の単位で表します。CVは相対化に便利でも、比例尺度と安定した正の平均が必要です。

この連載の前後の記事

• 前回：『真ん中半分はどこか：分位点・範囲・IQR』

• 次回：『要約値の前に何を見るか：ヒストグラム・累積割合図・箱ひげ図』

• 連載：『データ分析のための統計学』全31回

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