確率1%なら100回引けば当たるんじゃないの？

ガチャとか、トレカとか、いくらレア度が高くても、回せば当たるやろ。
そう思ってしまう方も多いのではないでしょうか。

今回は数学の話です。

確率が$${1\%\left(= \dfrac{1}{100}\right)}$$で、
100回引いた時に少なくとも1個当たる確率を$${P_{100}}$$とします。

このときの確率は、余事象の「100回引いて1回も当たらない(=爆死)」確率$${Q_{100}}$$を考えると求まりやすいです。

1回引いて当たらない確率は$${\dfrac{99}{100}}$$ですので、
これが100回連続で起こる確率は、

$$
Q_{100}=\left(\dfrac{99}{100}\right)^{100}
$$

よって、100回引いた時に1回以上当たる確率は、

$$
P_{100}=1-Q_{100} \\
=1-\left(\dfrac{99}{100}\right)^{100} \\
=0.633967658\cdots
$$

確率はおよそ63.4%、逆に言えば36.6%の人が100回引いて爆死することになります。

ここからが面白い話。

100じゃなくて、もっと大きな数だったら？

一般に、確率$${\dfrac{1}{n}}$$のガチャをn回まわして当たる確率$${P_{n}}$$を考えます。

上と同様の議論により、

$$
P_{n} =1-Q_{n} \\
=1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n} \\
$$

ここでnが無限に大きくなる時を考えてみましょう。

$$
\lim_{n\to \infty} P_n \\
=1-\lim_{n\to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n} \\
=1-\dfrac{1}{e} \\
=1-0.367879\cdots \\
=0.632121\cdots
$$

ただし、eはネイピア数です。
途中の式変形で、ネイピア数の定義
$${e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=2.718281\cdots}$$を使いました。

nが十分大きいとき、n回まわして爆死する確率がおよそ36%あると言えます。ガチャは危険ですね。

ここでネイピア数eが出てくるのは面白いですね。
実はこれはポアソン分布と関係している(というより期待値λ=1のポアソン分布そのもの)のですが、その話はまたの機会に。

最後までお読みいただきありがとうございました。