#2-(1).物理化学McQuarrie&Simon　第二章：古典的波動方程式　理論編

ぱぱおちゃん
マッカーリ・サイモンを愚直に解いていきます。これなら高校生でも量子化学をマスターできると信じて突き進みます。 ノートは手書きで読みづらいのでＢ５を一ページずつ載せていきます。ページ数が多くなったので問題演習前の教科書の説明の要点と問題演習で(1)と(2)に分けます。 更新が遅くなりました
第二章はまだ量子力学に入りません。普通の古典波動方程式を解きます。微分方程式を解きなれてない人を想定して定数係数の二階の線形微分方程式を解きまくります。大事なことはこの黄色のように境界条件で物理的に意味のある解を拾うということです 特にある空間に束縛された粒子はエネルギー順位が飛び飛びになります。また対称性（この章の例ではｘ方向とｙ方向の境界の幅が同じで区別できない）があると状態が縮退することです
変数分離形で解ける偏微分方程式を扱います。
分離定数がゼロまたは正のときは両端がゼロという境界条件に照らし合わせると恒等的に０の自明な（無意味な）解が出るので捨てます
分離定数が負のときはｓｉｎ ｃｏｓの周期解が出て許される周波数が飛び飛びの値になります（あとで離散的なエネルギー準位につながります）
ここまでをまとめると波動方程式を変数分離して両端固定の解を求めると分離定数が負の周期解だけが意味のある解になるとわかりました。大事なことを付け加えると空間の両端だけしか条件を課していないのですが、変数分離で時間の因子も同様の方程式を満たすので周期的になります。
その境界条件と周期解が結びつく（飛び飛びの周波数が残る）理由はｓｉｎがゼロになる条件から出てきます。前頁で述べたようにＴ(t)になんの条件もなかったのに自動的にX(x)と同様に周期的な解になります。
線形微分方程式を扱ってるので解を一つのnに対して求めればn=1,2,3,･･･のすべての重ね合わせも解であり、係数もｎ毎に異なる値が取れます。（こういう考えがさらさらと出てこないと解けないと思われる）
基準モードや倍音の図示をしました。また倍音などの語の英語もメモに残します
次に空間を二次元に拡張します。物理の専門書だと円形の膜だったりしてベッセル関数など出てきますがここはあくまで簡単に物理的な描像を与える目的だと思われます。長方形の膜で議論が進みます。（ｓｉｎ関数ですべての議論ができます） 大事なこととしてあとで長方形を正方形にしますが（ｘとｙの区別がつかないようにする）エネルギーが縮退（同一準位に複数の状態が含まれること）が起こります 対称性が縮退を生み、対称性が破れると縮退が解けるという重要な一般論の事例を与えています
ｘ、ｙ、ｔすべてを変数分離します。
一次元と同様に解けますが、これらの積が解になるとき注意です。XとYそれぞれの方向で基準モードを決めた自然数ｎはｘ方向とｙ方向で別物でも構わないことです。赤線引いた議論に注意します。
結果のまとめです。ここまでは境界条件を適用してあくまで数学として解けば出てくることです。
ここからが物理だと言っていいと思いますが ｘに関する両端の条件から空間方向の周期関数が出てきますが、変数分離で時間方向に関しても周期的な解がでます。倍音以上で膜に「節（変位が常にゼロのところ）」が現れますが時間の経過に従って節以外のところは正負を反転させながら振動することがわかります
膜を正方形にすると周波数の値がｘ、ｙで同一で同じエネルギーを与える複数の状態が生じ得ます
途中でやり飛ばした例題を補足的に解いておきます。

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