行列群の生成系〈龍孫江の群論道具箱〉

　群の典型例として一般線型群を導入しましたが，その性質はあまり詳しく見てきませんでした．今回からじっくり見て行きましょう．

動画はこちらです：https://youtu.be/WGYoEpWDF30

　今回の話を通して，すべての行列は体$${K}$$に成分をもつものとします．$${1 \le s, t \le n}$$に対し，行列$${E_{s,t} \in M_n(K)}$$を

$${(s,t)}$$成分のみ１，それ以外の成分がすべて０の行列

と定め，

$${B_{s,t} (\lambda) = I + \lambda E_{s,t}}$$，$${D_\delta := \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & \\ & & & & \delta  \end{pmatrix} }$$

とします．

定理（行列群の生成系）

$${\mathbf{GL}_n(K) = \langle B_{s,t}(\lambda) , D_\delta \mid s \ne t, \lambda \in K, \delta \in K^\times \rangle}$$，
$${\mathbf{SL}_n(K) = \langle B_{s,t}(\lambda) \mid s \ne t, \lambda \in K \rangle}$$□