部分群の対応定理〈龍孫江の群論道具箱〉

　剰余群を導入し準同型定理を導いたところで，２つの群の間の対応関係を調べ始める用意ができました．まず，剰余群の部分群を調べましょう．

https://youtu.be/5mAUe4BV16Q

　群$${G}$$の部分群$${H \supset N}$$に対し，$${H}$$は$${N}$$の（右）乗法作用で安定です．したがって

$${H = \bigcup_{x \in H} xN}$$

が成り立ちます．この表示において，右辺の剰余類には繰り返し同じものが現れますが，異なる剰余類同士は互いに交わりませんから，剰余類が１回ずつ現れるように表示を工夫すれば，非交叉合併と考えられます．すなわち$${H}$$は$${N}$$による剰余類いくつかの非交叉合併として表せます．