完全群の単純性〈龍孫江の群論道具箱〉

　剰余群が可換になる非自明な正規部分群をもたない群として完全群を定義しました．これは「比較的大きな正規部分群がない」とみることができて，さらに小さな正規部分群が存在しないような条件を付加することで単純群が得られます．

動画はこちらです：https://youtu.be/zojvsBMxdA0

定理（完全群の単純性）

　群$${G}$$は集合$${X}$$に忠実かつ原始的に作用するとし，ある点$${x \in X}$$の固定化群を$${H = G_x}$$とする．さらに
(1) $${G}$$は完全群である，
(2) $${H}$$の可解な正規部分群$${K}$$で，$${G}$$内での$${K}$$の共役全体が$${G}$$を生成するようなものがある，
の２条件が成り立つとき，$${G}$$は単純群である．□