円が転がるとき、中心はどこを通る？｜淑徳与野中2026算数・大問5

2026年度 淑徳与野中学校・第1回入試 算数 大問5

円そのものを追いかけると複雑です。

しかし、中心だけを見ると、すべての線が「半径6cmの円の弧」として整理できます。

問題を短く整理しよう

半径3cmの円を、横一列に接するように固定します。その外側を、同じ半径3cmの円Aが、すべらないように一周します。

• 固定円が2個のとき、円Aの中心が通る線の長さを求める。

• 固定円が3個のとき、その線を作図する。

• 固定円が27個のとき、2個のときより何cm長くなるか求める。

※「すべらない」という条件は円Aの回転数を決めるときに必要です。今回は「中心の道」を求めるので、円Aが何回転したかは考えません。

方針

円Aの形ではなく、円Aの中心に注目します。

円Aがどの固定円に接していても、「円Aの半径3cm＋固定円の半径3cm」は変わりません。だから中心の道は、固定円の中心から6cm離れた円の弧として描けます。

1．円Aの中心と、接している固定円の中心との距離は6cm

円Aと固定円が接している間、2つの中心を結ぶと一直線になります。

3cm＋3cm＝6cm

この6cmは、円Aの中心から固定円の中心までの距離です。

円Aがその固定円に接して動いている間、円Aの中心は固定円の中心から6cm離れたまま動きます。

そのため、この部分の中心の道は、固定円の中心を中心とする半径6cmの円の弧になります。

ここがこの問題のいちばん大切な発見です。円Aがくるくる回る様子を考える必要はありません。中心だけを追えばよいのです。

2．固定円が2個なら、240°の弧が2本

固定円の中心を中心として、半径6cmの補助円を2つ描きます。

補助円の全部が、円Aの中心の道になるわけではありません。

2つの固定円の間側に円Aの中心が入ると、円Aがもう一方の固定円にめり込んでしまいます。そのため、内側の120°は通れません。

補助円どうしの交点をP・Qとします。上側の交点Pに注目すると、

• O₁P＝6cm

• O₂P＝6cm

• O₁O₂＝6cm

です。

3辺がすべて6cmなので、△O₁PO₂は正三角形です。

正三角形の角はすべて60°なので、上側が60°、下側も60°です。したがって、通れない内側は、

60°＋60°＝120°

です。

中心が実際に通る外側は、

360°から120°を引くと240°

です。

半径6cmの円周は、

6×2×3.14＝37.68cm

240°の弧1本の長さは、

37.68×240÷360＝25.12cm

同じ弧が2本あるので、

25.12×2＝50.24cm

（1）の答え

50.24cm

3．固定円が3個のときは、こう描く

両端の固定円では、2個のときと同じ240°の弧が残ります。

真ん中の円は、左右の両方に固定円があります。

そのため、右側にも左側にも円Aの中心が入り込めません。外側に出ている上60°と下60°だけが道として残ります。

60°＋60°＝120°

3つの補助円の「いちばん外側」だけを、切れ目なく太線で結んだ線が（2）の作図の答えです。

4．固定円を1個増やすと、道はどれだけ長くなる？