20000110　四つの4

　「四つの$${4}$$」という数学パズル$${^{*1}}$$がある。必ず「$${4}$$」を四つ使って演算式を作りその答えを$${1}$$、$${2}$$、$${3}$$…と順番に作っていった時、いくつまでの数ができるか、という問題である。

　例えば$${44÷44=1}$$、$${4/4+4/4=2}$$、$${(4+4+4)÷4=3}$$…と、このように必ず「$${4}$$」を四つ使うのが条件である。あとはどんな演算記号を使ってもよい。四則演算はもちろんのこと、マイナス「$${-4}$$」、階乗「$${4!＝4\times3\times2\times1=24}$$」、小数点「$${4.4}$$、$${4.44}$$、$${.444}$$など」、循環小数「$${.\.{4}=0.444444...＝4/9}$$）など」、累乗「$${4^4=4\times4\times4\times4=256}$$）、$${4^{44}＝3.094850098213451...\times10^{26}}$$など」、平方根「$${\sqrt{ }}$$」、対数「$${\log_4 4}$$（4を底とした4の対数=1）、$${\log_4\sqrt{4}}$$（4を底とした$${\sqrt{4}}$$の対数=0.5）など」あらゆる記号を使ってよい。

　四つの$${4}$$しか使えないのでそれ程大きな数は出来ないと考えてしまうだろう。単発に大きな数字は作れる。 $${4^{444}＝2.063650512248692...\times10^{267}}$$だが、この数の直前の数つまり $${4^{444}-1}$$はどうやって作るのか、といわれたら困ってしまうだろう。順番に作るのがこのクイズのルールだから単発で作っても意味がない。
　ところが世界には凄い人がいて、いくらでも大きな数が順番に「四つの$${4}$$」で出来ることを示した人がいる。勿論$${5^{555}}$$も$${4^{444}-1}$$も作ることが出来る。どのような演算式になるかここに書きたいのだが、余白がないので割愛する。

*1　数学の部屋