Relativna hitrost

Relativno gibanje človeka na vlaku

Relativna hitrost objekta B glede na opazovalca A, označena z $\mathbf {v} _{B\mid A}$ (tudi $\mathbf {v} _{BA}$ ali $\mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}$ ), je vektor hitrosti B, izmerjen v mirujočem sistemu A. Relativna hitrost je vektorska norma relativne hitrosti, $v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|$.

Klasična mehanika

V eni dimenziji (nerelativistično)

Začnemo z relativnim gibanjem v klasičnem (nerelativističnem ali Newtonovem približku) okolju, kjer so vse hitrosti veliko manjše od svetlobne hitrosti. Ta limit je povezan z Galilejevo transformacijo. Slika prikazuje moškega nad zadnjim delom vlaka. Ob 13.00 začne hoditi naprej s hitrostjo 10 km/h (kilometri na uro). Vlak se premika s 40 km/h. Figura prikazuje moškega in vlak ob dveh različnih časih: prvič, ko se je potovanje začelo, in eno uro kasneje, ob 14.00. Številka nakazuje, da je moški 50 km od začetne točke po eni uri potovanja (hoja in potovanje z vlakom). Torej je hitrost po definiciji 50 km/h, kar kaže na to, da je način za izračun relativne hitrosti ob takem gibanju seštevanje obeh hitrosti.

Diagram prikazuje ure in ravnila, da bralca opomni, da čeprav je logika za tem izračunom zdi brezhibna, daje napačne predpostavke o tem, kako se ure in ravnila obnašajo (glej Miselni eksperiment vlaka in perona). Da ugotovimo, da ta klasični model relativnega gibanja krši posebno teorijo relativnosti, posplošimo primer v enačbo:

$\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},$

kjer:

$\mathbf {v} _{M\mid E}$ je hitrost osebe glede na Zemljo ,

$\mathbf {v} _{M\mid T}$ je hitrost osebe glede na hitrost vlaka,

$\mathbf {v} _{T\mid E}$ je hitrost vlaka glede na Zemljo.

Popolnoma legitimni izrazi za "hitrost A glede na B" vključujejo "hitrost A glede na B" in "hitrost A v koordinatnem sistemu, kjer B vedno miruje". Do kršitve posebne teorije relativnosti pride, ker ta enačba za relativno hitrost napačno napoveduje, da bodo različni opazovalci pri opazovanju gibanja svetlobe izmerili različne hitrosti.

V dveh dimenzijah (nerelativistično)

Relativne hitrosti med dvema delcema v klasični mehaniki

Slika prikazuje dve telesi, A in B, ki se gibljeta s konstantno hitrostjo. Enačbe gibanja so:

$\mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,$

$\mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,$

kjer se indeks i nanaša na začetni premik (ob času t=0). Razlika med obema vektorjema premika, $\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}$, predstavlja lokacijo B, glede na točko A.

$\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{relative velocity}}.$

Zato velja:

$\mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.$

Po vstavljanju $\mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}$ in $\mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}$, dobimo:

$\mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow$ $\mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.$

Galilejeva transformacija (nerelativistična)

Da bi naredili teorijo relativnega gibanja, ki je skladna s teorijo posebne relativnosti, moramo sprejeti drugačen dogovor. Če nadaljujemo z delom v (nerelativističnem) Newtonovem limitu, začnemo z Galilejevo transformacijo v eni dimenziji:

$x'=x-vt$

$t'=t$

kjer je x' položaj, kot ga vidimo iz referenčnega sistema, ki se giblje s hitrostjo v v drugem (x) referenčnem sistemu. Če vzamemo odvod prve od zgornjih dveh enačb, dobimo: $dx'=dx-v\,dt$ in kar se morda zdi očitno: da $dt'=dt$, imamo:

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v$

Da bi dobili prejšnje izraze za relativno hitrost, predpostavimo, da delec A sledi poti, ki jo v drugem referenčnem sistemu definira dx/dt (in s tem dx ′/dt ′ v prvem sistemu). Tako dobimo $dx/dt=v_{A\mid O}$ in $dx'/dt=v_{A\mid O'}$, kjer se $O$ in $O'$ nanašata na gibanje delca A, kot ga vidi opazovalec v drugem oziroma prvem sistemu. Spomnimo se, da je v gibanje mirujočega predmeta v prvem referenčnem okviru, kot je vidno iz drugega referenčnega okvirja. Tako imamo $v=v_{O'\mid O}$ in:

$v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},$

kjer ima slednja oblika želeno (zlahka naučljivo) simetrijo.

Posebna relativnost

Tako kot v klasični mehaniki je tudi v posebni relativnosti relativna hitrost $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ hitrost predmeta ali opazovalca B v mirujočem sistemu drugega predmeta ali opazovalca A. Vendar pa za razliko od klasične mehanike v posebni relativnosti na splošno ne velja, da:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }$

To nenavadno pomanjkanje simetrije je povezano s Thomasovo precesijo in z dejstvom, da dve zaporedni Lorentzevi transformaciji zavrtita koordinatni sistem. To vrtenje nima vpliva na velikost vektorja, zato je relativna hitrost simetrična.

$\|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }$

Vzporedne hitrosti

V primeru, ko dva predmeta potujeta v vzporednih smereh, je relativistična formula za relativno hitrost po obliki podobna formuli za seštevanje relativističnih hitrosti.

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}$

Relativna hitrost je izračunamo s formulo:

$v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}$

Pravokotne hitrosti

V primeru, ko dva predmeta potujeta v pravokotnih smereh, je relativistična relativna hitrost $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ podana s formulo:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }$

kjer je:

$\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}$

Relativna hitrost je torej podana s formulo:

$v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}$

Splošni primer

Splošna formula za relativno hitrost $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ predmeta ali opazovalca B v mirujočem okviru drugega predmeta ali opazovalca A je podana s formulo:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]$

kjer velja:

$\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}$

Relativna hitrost je podana s formulo:

$v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c$

Glej tudi

• Dopplerjev pojav
• Pekuliarna hitrost
• Lastno gibanje
• Radialna hitrost
• Hitrost
• Relativistična hitrost
• Vesoljska hitrost (astronomija)

Zunanje povezave

• Relativno gibanje pri HyperPhysics
• Java programček, ki ponazarja relativno hitrost, avtorja Andrewa Duffyja
• Relatív mozgás (1)...(3) Relativno gibanje dveh vlakov (1)...(3). Video posnetki na portalu FizKapu. (madžarsko)
• Sebességek összegzése Relativni mir postrvi v potoku. Video na portalu FizKapu . (madžarsko)