Spazio topologico

In matematica, uno spazio topologico è la struttura fondamentale e l'oggetto di base della topologia. In termini generali, si tratta di uno spazio matematico in cui è definita una nozione di "vicinanza" fra i punti, ma delineata nel modo più debole e generale possibile, senza che questa debba necessariamente essere misurata da una distanza numerica. Intuitivamente, ciò che caratterizza uno spazio topologico è infatti la sua forma e la relazione tra le sue parti, non le proprietà metriche.

Più formalmente, uno spazio topologico è costituito da un insieme (i cui elementi sono chiamati punti) e da una struttura aggiuntiva chiamata topologia. Quest'ultima si esprime attraverso un approccio assiomatico basato sulla teoria degli insiemi, definendo una collezione di sottoinsiemi (solitamente definiti come insiemi aperti o intorni) che soddisfano alcuni assiomi minimi. Grazie a questa impalcatura teorica, lo spazio topologico fornisce il vocabolario e il quadro generale per definire rigorosamente concetti cardine dell'analisi matematica e della geometria, come limite, convergenza, continuità, frontiera e connessione.

Lo spazio topologico è il tipo più generale di spazio matematico. Molti degli spazi comunemente usati, come gli spazi euclidei, gli spazi metrici e le varietà, sono di fatto casi particolari di spazi topologici, a cui vengono aggiunti vincoli e strutture proprie (come, ad esempio, una funzione di distanza). La straordinaria generalità di questa definizione permette di applicarla a un numero enorme di situazioni diverse: insiemi finiti o discreti, spazi $n$-dimensionali, complessi spazi funzionali e in geometria algebrica.

Sebbene storicamente ci sia voluto del tempo per arrivare alla definizione astratta comunemente usata oggi, il concetto di spazio topologico è una base concettuale imprescindibile che compare in quasi tutti i rami della matematica moderna. Lo studio di questi spazi nelle loro proprietà fondamentali prende il nome di topologia generale (o topologia degli insiemi di punti), la quale funge da fondamento per estensioni più avanzate volte ad analizzare la "forma" degli spazi, come la topologia differenziale e la topologia algebrica.

Il concetto di spazio topologico è strettamente connesso a un ampio ventaglio di argomenti matematici e per essere compreso a pieno, richiede una buona comprensione di altri concetti altrettanto fondamentali quali la teoria degli insiemi, gli spazi euclidei, le nozioni di limite e continuità e, in modo particolare, il concetto di spazio metrico, che rappresenta un passaggio chiave per avvicinarsi in modo consapevole alla topologia.

Storia e motivazioni

Motivazioni

Nell'analisi matematica, lo studio delle nozioni di limite e continuità nell'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali e negli spazi euclidei si avvale dell'introduzione del concetto di "intorno" e del concetto, ad esso strettamente collegato, di "insieme aperto". Le nozioni di convergenza e di continuità, infatti, possono essere espresse interamente in termini di soli insiemi aperti.

La famiglia degli insiemi aperti di $\mathbb {R}$ (o di qualunque altro spazio euclideo) soddisfa le seguenti tre condizioni:

• l'insieme vuoto e l'intero spazio $\mathbb {R}$ sono aperti;
• l'unione di una quantità arbitraria di aperti è un aperto;
• l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.

Queste tre condizioni si rivelano necessarie e sufficienti per dimostrare diversi risultati fondamentali dell'analisi, come la preservazione della compattezza e della connessione da parte delle funzioni continue. Per questo motivo, esse vengono assunte come le proprietà assiomatiche fondamentali che uno spazio topologico astratto deve verificare.

Attraverso la nozione di spazio topologico si cerca quindi di individuare le proprietà essenziali che permettano di definire un concetto di continuità analogo a quello degli spazi euclidei, ma applicato a un'idea astratta di spazio. Gli aperti di uno spazio euclideo godono naturalmente di molte altre proprietà che, tuttavia, in questo contesto astratto non sono richieste: ciò garantisce un maggiore livello di generalità pur permettendo di ottenere risultati matematici significativi. Successivamente, gli spazi topologici definiti in questa massima generalità vengono classificati in base a ulteriori proprietà specifiche, che possono renderli via via più "simili" agli spazi euclidei.

Storia

Le origini della topologia affondano le radici nel XVIII secolo. Intorno al 1735, Leonhard Euler scoprì la formula $V-A+F=2$ (indicata anche in diverse varianti notazionali), che mette in relazione il numero di vertici, archi (o spigoli) e facce di un poliedro convesso, applicabile anche allo studio dei grafi planari. Lo studio e la generalizzazione di questa formula, portati avanti in particolare da Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) e Simon Antoine Jean L'Huilier (1750–1840), diedero un forte impulso a questo nuovo campo della matematica.

Nel 1827, Carl Friedrich Gauss pubblicò le Indagini generali sulle superfici curve (Disquisitiones generales circa superficies curvas), dove definì la superficie curva in un modo che si avvicina alla moderna comprensione topologica: identificò infatti la curvatura continua in un punto analizzando il comportamento delle rette tracciate verso punti a distanza infinitesima, verificandone lo scostamento rispetto al piano passante per il punto stesso. Tuttavia, fino al lavoro di Bernhard Riemann risalente al 1850, le superfici venivano sempre trattate da un punto di vista strettamente locale (come superfici parametriche) e le questioni puramente topologiche non venivano prese in considerazione.

Furono August Ferdinand Möbius e Camille Jordan i primi a comprendere che il problema centrale della topologia delle superfici compatte era la ricerca di invarianti (preferibilmente numerici) che permettessero di decidere l'equivalenza delle superfici stesse, ossia di stabilire se due superfici fossero omeomorfe o meno. L'argomento fu poi inquadrato chiaramente da Felix Klein nel suo celebre "Programma di Erlangen" del 1872, in cui la disciplina veniva descritta come lo studio degli invarianti geometrici rispetto a trasformazioni continue arbitrarie.

Il termine "topologia" fu introdotto formalmente da Johann Benedict Listing nel 1847, per sostituire la precedente dicitura Analysis situs, sebbene Listing stesso lo utilizzasse già in alcune corrispondenze private da diversi anni.

La base moderna di questa scienza, estesa a spazi di qualsiasi dimensione, fu creata da Henri Poincaré, che pubblicò il suo primo articolo sull'argomento nel 1894. La formalizzazione moderna arrivò all'inizio del XX secolo: sebbene gli spazi metrici fossero stati introdotti già nel 1906 da Maurice Fréchet, il concetto astratto di spazio topologico fu definito per la prima volta da Felix Hausdorff nel 1914, all'interno della sua opera fondamentale Principi della teoria degli insiemi (fu sempre Hausdorff, tra l'altro, a diffondere l'uso del termine "spazio metrico").

Infine, negli anni '30, matematici come James Waddell Alexander II e Hassler Whitney affinarono i concetti geometrici introducendo l'idea che una superficie (o varietà) sia uno spazio topologico che, a livello locale, risulta simile a un piano euclideo.

Descrizione generale

Uno spazio topologico è, come menzionato sopra, un insieme a cui viene aggiunta una struttura di "topologia". Grazie a questa struttura, è possibile definire, ad esempio, i seguenti concetti:

• parte interna, parte esterna e frontiera di un sottoinsieme;
• intorni di un punto;
• convergenza;
• insiemi aperti, insiemi chiusi, chiusura.

In realtà, questi concetti sono in qualche modo "equivalenti": se si formalizza uno solo di essi, gli altri possono essere definiti a partire da esso. Pertanto, una struttura topologica su un insieme può essere definita formalizzando uno qualunque di questi concetti. Molti libri di testo di livello universitario scelgono di definire la struttura topologica basandosi sul concetto di insieme aperto, che è matematicamente più maneggevole.

Inoltre, tramite la struttura topologica si possono definire concetti come continuità di una funzione tra spazi topologici e connessione di uno spazio.

Tutti i concetti sopra citati erano originariamente definiti per oggetti geometrici come gli spazi metrici, ma possono essere formulati anche senza una distanza, definendo, appunto, una struttura topologica. Uno dei vantaggi del concetto di spazio topologico è quello di fornire un'intuizione geometrica agli oggetti di studio dell'analisi e dell'algebra.

Conseguentemente uno degli obiettivi della topologia generale è generalizzare le proprietà che valgono per oggetti geometrici classici, come lo spazio euclideo. Pertanto, molte delle proprietà studiate nella topologia generale (ad esempio i vari assiomi di separazione o di numerabilità) sono solitamente valide nello spazio euclideo.

Per queste ragioni, il concetto di spazio topologico in sé è definito in modo molto debole e astratto. Tuttavia, in contesti specifici potrebbero non essere soddisfatte alcune proprietà desiderabili; ad esempio, in uno spazio topologico generale l'unicità del limite non è garantita. Pertanto, spesso si studiano spazi topologici a cui vengono aggiunte proprietà supplementari. L'unicità del limite menzionata sopra, ad esempio, è garantita se si aggiunge l'assioma di separazione $T_{2}$ (ossia la proprietà di Hausdorff).

Rappresentazione dell'intorno 1 dell'origine nello spazio metrico $(\mathbb {R} ^{2},d_{p})$ per $p=2$ (figura in alto), $p=1$ (figura centrale) e $p=\infty$ (figura in basso). Queste sono chiamate rispettivamente Distanza euclidea, distanza di Manhattan e Distanza di Čebyšëv.

Spazi topologici e spazi metrici

Esempi rappresentativi di spazi topologici sono gli spazi metrici, di cui fa anche parte lo spazio euclideo. Ogni spazio metrico è necessariamente uno spazio topologico, ma il viceversa non è sempre vero. In altre parole, la struttura metrica è un concetto molto più forte e ricco di informazioni rispetto alla struttura topologica (che è invece debole e generalizzata); spazi che sono diversi come spazi metrici possono risultare identici come spazi topologici.

Ad esempio, fissando $p\geq 1$ e considerando lo spazio metrico $(\mathbb {R} ^{n},d_{p})$ con la distanza Lp:

$d_{p}(x,y)={\sqrt[{p}]{(x_{1}-y_{1})^{p}+\cdots (x_{n}-y_{n})^{p}}}$

si nota che, sebbene $(\mathbb {R} ^{n},d_{p})$ vari al variare di $p$ (il valore numerico della distanza tra due punti dipende da $p$), la famiglia degli insiemi aperti generati rimane invariata (ci troviamo, cioè, sempre nello stesso spazio topologico). Di conseguenza, concetti come la convergenza di una successione o la continuità di una funzione non dipendono dalla scelta di $p$, poiché sono proprietà puramente topologiche.

Ciò si deduce dal fatto che (sebbene gli ε-intorni usati nelle discussioni sui limiti con il metodo ε-N o ε-δ differiscano in base a $p$), l'esistenza di un limite e il punto a cui si converge rimangono identici indipendentemente da $p$.

Più in generale, ciò che si ottiene deformando con continuità (come una membrana di gomma) uno spazio euclideo è diverso dallo spazio euclideo originale come spazio metrico, ma identico come spazio topologico, e la proprietà di convergenza o meno viene preservata.

Come visto sopra, quando si studiano concetti come la continuità e la convergenza, o si effettuano ricerche su trasformazioni continue, il concetto di spazio metrico può risultare poco flessibile, il che costituisce una forte motivazione per considerare il concetto più debole di spazio topologico.

Inoltre, nel definire ad esempio una varietà, si "incollano" più spazi metrici (sottoinsiemi aperti dello spazio euclideo) tramite mappe continue, ma poiché l'incollamento non tiene necessariamente conto della struttura metrica originale, è più naturale considerare lo spazio originale come uno spazio topologico piuttosto che come uno spazio metrico.

Ambiti di applicazione

Deformazione continua (un tipo di omeomorfismo) da una tazzina da caffè a una ciambella (toro) e viceversa

La topologia studia le proprietà degli spazi geometrici (principalmente varietà di dimensione finita e complessi simpliciali) in quanto spazi topologici. Come accennato, poiché la struttura di spazio topologico non cambia anche se deformata come una membrana di gomma, una sfera e un ellissoide rappresentano lo stesso spazio, mentre è noto che un toro è uno spazio topologico diverso da una sfera. Nella topologia geometrica, si classificano gli spazi concentrandosi sulla loro struttura topologica e si definiscono gli invarianti necessari per la classificazione (invarianti topologici).

Il concetto di spazio topologico è utile anche nell'algebra e nell'analisi. Ad esempio, per sviluppare in modo coerente la teoria degli spazi vettoriali di dimensione infinita nell'analisi funzionale è essenziale introdurre una topologia nello spazio vettoriale e utilizzare la teoria generale degli spazi topologici (spazio vettoriale topologico); la topologia di Zariski utilizzata nella geometria algebrica è una topologia che, di norma, non può essere definita a partire da una distanza.

Inoltre, la struttura di uno spazio topologico appare spesso come condizione di vincolo per vari concetti definiti su di esso. Ad esempio, la dimensione dello spazio delle funzioni meromorfe su una superficie di Riemann è limitata dalla struttura topologica della superficie di Riemann (teorema di Riemann-Roch). Inoltre, una condizione necessaria e sufficiente affinché due varietà iperboliche chiuse di dimensione almeno 3 siano isomorfe come spazi metrici è che siano isomorfe come spazi topologici (teorema di rigidità di Mostow).

Definizioni

Il concetto di spazio topologico può essere introdotto in diversi modi tra loro del tutto equivalenti. Sebbene la definizione più diffusa faccia uso degli insiemi aperti, in molti contesti (come ad esempio in analisi matematica) risulta più intuitivo o conveniente partire dal concetto di intorno, di chiuso o dall'operatore di chiusura.

Accenni agli insiemi aperti

Nella formalizzazione standard degli spazi topologici, la nozione di insieme aperto gioca un ruolo primitivo. A livello intuitivo, un aperto viene spesso descritto come un sottoinsieme privato della propria frontiera (cioè del proprio bordo, quindi "senza bordo"). Pur essendo utile, questa interpretazione geometrica non può fungere da definizione formale, in quanto genererebbe una circolarità logica: la definizione stessa di frontiera presuppone che sia già stata introdotta una topologia. A ciò si aggiunge che il concetto topologico di frontiera sfugge spesso al senso comune, come dimostra l'insieme dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ la cui frontiera nella retta reale $\mathbb {R}$ corrisponde a $\mathbb {R}$ stesso. Di conseguenza, la topologia moderna adotta un approccio assiomatico e astratto. Uno spazio topologico viene definito semplicemente specificando una collezione ${\mathcal {O}}$ di sottoinsiemi: tali sottoinsiemi assumono il nome di "aperti" per il solo fatto di appartenere a ${\mathcal {O}}$, a condizione che la collezione rispetti determinate proprietà strutturali (gli assiomi della topologia), prescindendo del tutto da concetti geometrici preesistenti.

Concetti derivanti dagli aperti

Una volta stabilita una topologia (come impareremo a fare nel sottoparagrafo successivo) e conseguentemente, aver scelto una famiglia valida di insiemi aperti, i seguenti concetti sono banalmente derivabili da quello di insieme aperto, e trovano largo uso nello studio degli spazi topologici.

1. Insieme chiuso: un insieme $A\subseteq X$ si dice chiuso se il suo complementare $X\setminus A$ è un insieme aperto.
2. Chiusura: La chiusura di $A$ è il più piccolo insieme chiuso che contiene $A$. Essa è definita come l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$. Possiamo rappresentare la chiusura di $A$ con il simbolo ${\bar {A}}$ o con la notazione alternativa $Cl(A)$.
3. Parte Interna: la parte interna di $A$ è l'aperto più grande contenuto in $A$. Essa è definita come l'unione di tutti i sottoinsiemi aperti di $A$. Possiamo rappresentare la parte interna di $A$ con il simbolo ${\dot {A}}$ o con la notazione alternativa $Int(A)$.
4. Frontiera: la frontiera dell'insieme $A$ rappresenta il complementare dell'apertura ${\dot {A}}$ rispetto alla chiusura ${\bar {A}}$ di $A$. Essa è calcolabile come ${\bar {A}}\setminus {\dot {A}}$, e può essere rappresentata con il simbolo $\partial A$.

Contrariamente a quanto si possa credere, il concetto di aperto e quello di chiuso non sono mutuamente esclusivi. Un sottoinsieme può essere un insieme chiuso, aperto, sia aperto sia chiuso (insiemi clopen), oppure né aperto né chiuso.

Definizione tramite gli aperti

La definizione standard di topologia si basa sul concetto di insieme aperto.

Una topologia su un insieme $X$ è una collezione $\tau$ di sottoinsiemi di $X$, chiamati aperti, che soddisfa i seguenti tre assiomi:

1. L'insieme vuoto e $X$ appartengono a $\tau$: $\varnothing \in \tau$ e $X\in \tau$.
2. L'unione di una quantità arbitraria (finita o infinita, anche non numerabile) di insiemi appartenenti a $\tau$ appartiene a $\tau$: se $\{O_{i}\}_{i\in I}$ è una famiglia di aperti, allora $\bigcup _{i\in I}O_{i}\in \tau$.
3. L'intersezione di un numero finito qualsiasi di insiemi appartenenti a $\tau$ appartiene a $\tau$: se $O_{1},\dots ,O_{n}\in \tau$, allora $O_{1}\cap \dots \cap O_{n}\in \tau$.

Uno spazio topologico è una coppia $(X,\tau )$ formata da un insieme $X$ e da una topologia $\tau$ su di esso. Quando la topologia è chiara dal contesto, per brevità si indica lo spazio semplicemente con il nome dell'insieme $X$.

Un sottoinsieme $C\subseteq X$ si dice chiuso in $(X,\tau )$ se il suo complementare $X\setminus C$ è un insieme aperto. Dalla definizione segue che l'insieme vuoto e $X$ sono simultaneamente aperti e chiusi (insiemi con questa proprietà sono talvolta detti clopen). La chiusura di una parte $A$ di $X$ è definita come il più piccolo chiuso che contiene $A$.

Esempi di topologie

Dato un insieme $X$, è possibile definire diverse topologie su di esso:

• Sia $X=\{1,2,3,4\}$. La famiglia $\tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}$ è una topologia su $X$.
• La topologia banale su un generico insieme $X$ è la famiglia $\tau =\{\varnothing ,X\}$, composta solo dai due sottoinsiemi richiesti obbligatoriamente dal primo assioma.
• La topologia discreta su $X$ è l'insieme delle parti di $X$, ossia la famiglia di tutti i possibili sottoinsiemi di $X$. In questo caso, ogni sottoinsieme è un aperto.
• Dato l'insieme degli interi $\mathbb {Z}$, la famiglia composta da $\mathbb {Z}$ e da tutti i suoi sottoinsiemi finiti non è una topologia: l'unione di infiniti insiemi finiti (ad esempio l'unione di tutti i singoletti che non contengono lo zero) non è necessariamente un insieme finito, violando così il secondo assioma.

Il concetto di intorno

Sappiamo che gli spazi topologici sostituiscono la distanza degli spazi metrici con un più generico concetto di vicinanza. Dato che, per uno stesso insieme $X$ possiamo definire diverse topologie, comprendenti diversi sottoinsiemi di $X$, ne segue che il concetto di vicinanza cambia in base alla topologia scelta. Per questo motivo la vicinanza è un altro concetto che può essere definito in base a quello di insieme aperto.

Un intorno di $x$ è un qualsiasi insieme che contiene un aperto che a sua volta contiene $x$.

In simboli: $x\in A\subseteq U.$

Dove $U$ è un intorno di $x$ e $A$ è un insieme aperto. Una conseguenza diretta di questa definizione è quella per la quale un intorno di $x$ non deve per forza essere aperto.

Esempio:

L'intervallo chiuso $A:[-1,1]$ in $\mathbb {R}$ è un insieme chiuso. Al suo interno possiamo definire l'intervallo aperto $(-1,1)$ contenente l'elemento $0$. Pur essendo chiuso, $A$ soddisfa la condizione enunciata sopra, perciò $A$ è un intorno di $0$. Se $A$ fosse stato aperto, sarebbe banalmente intorno di $0$, e ci riferiremmo ad esso con il termine più specifico di intorno aperto.

Va notato (poiché sarà fondamentale per comprendere la definizione alternativa di topologia mostrata nel sottoparagrafo seguente) che il concetto di insieme aperto e quello di intorno sono, in verità, lo stesso concetto visto in modo differente.

• Possiamo, a partire dagli aperti, ricavare gli intorni applicando la definizione di intorno appena descritta.

• Possiamo, a partire dagli intorni, ricavare gli aperti: un insieme si dice "aperto" se è un intorno per tutti i punti che contiene.

La vicinanza qualitativa è data dalla struttura topologica nel suo insieme. Tuttavia, quando nel linguaggio matematico diciamo che $y$ è "vicino" a $x$, intendiamo tecnicamente che $y$ appartiene a un intorno di $x$.

Definizione tramite gli intorni

Il matematico Felix Hausdorff definì un suo concetto di spazio topologico, basato su una definizione assiomatica di intorno di un punto.

In termini semplici, la topologia viene definita stabilendo, per ogni punto dello spazio, quali sono le zone che lo circondano (i suoi "intorni").

Formalmente, uno spazio topologico può essere definito come una coppia $(X,{\mathcal {I}})$, dove $X$ è l'insieme di tutti i punti e ${\mathcal {I}}$ è una funzione che associa a ogni singolo punto $x$ una famiglia di sottoinsiemi ${\mathcal {I}}_{x}$. Questi sottoinsiemi sono chiamati intorni del punto $x$ e, per essere considerati tali, devono rispettare quattro diversi assiomi (chiamati successivamente assiomi di Hausdorff):

1. Un punto qualsiasi appartiene sempre al proprio intorno: non possiamo pertanto definire un intorno di $x$ che non includa il punto stesso. Formalmente: per ogni $U\in {\mathcal {I}}_{x},$ si ha che $x\in U$.
2. Allargando un intorno, si ottiene ancora un intorno: se si prende un intorno di $x$ e lo espande includendo altri punti, l'insieme ottenuto continua a essere un intorno di $x$. Formalmente: se $U\in {\mathcal {I}}_{x}$ e $U\subseteq V$, allora $V\in {\mathcal {I}}_{x}$.
3. L'intersezione di due intorni è ancora un intorno: la zona in comune tra due "vicinanze" di $x$ è ancora considerata una vicinanza di $x$. Formalmente: se $U,V\in {\mathcal {I}}_{x}$, allora $U\cap V\in {\mathcal {I}}_{x}$.
4. Se un insieme $U$ è un intorno di $x$, allora esiste una zona più piccola $V$ (anch'essa intorno di $x$) tale che $U$ fa da intorno non solo per $x$, ma anche per tutti i punti contenuti in $V$. Formalmente: per ogni $U\in {\mathcal {I}}_{x}$, esiste $V\in {\mathcal {I}}_{x}$ tale che per ogni $y\in V,$ si ha $U\in {\mathcal {I}}_{y}$.

Questa definizione è perfettamente equivalente a quella standard basata sugli insiemi aperti.

Un insieme si definisce aperto se è un intorno per tutti i punti che contiene (cioè non ha "bordi": per ogni suo punto, ci sono sempre degli altri punti intorno ad esso che fanno parte dell'insieme). Viceversa, se partiamo dagli aperti, un intorno di un punto $x$ è semplicemente un qualsiasi insieme che contiene un aperto che a sua volta contiene $x$.

Equivalentemente, uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico che soddisfa l'assioma di separazione $T_{2}$ (per due punti distinti $x$ e $y$, esistono due intorni disgiunti $U(x)$ e $U(y)$, ossia il quinto assioma di Hausdorff).

Questa definizione è molto apprezzata in analisi matematica perché il secondo e il terzo assioma indicano che la famiglia di intorni ${\mathcal {I}}_{x}$ costituisce un filtro sull'insieme $X$, generalizzando questo concetto.

Definizione tramite i chiusi

Oltre alle definizioni precedenti, ne esiste un'altra equivalente e altrettanto attuale, anche se meno comune, che determina la topologia in termini di chiusi. Se partiamo dagli aperti, chiameremo chiusi i sottoinsiemi che hanno complementare aperto. Se partiamo dai chiusi saranno aperti quelli che hanno complementare chiuso.

Partendo dalla definizione data all'inizio (basata sugli aperti) dimostriamo le tre proprietà che caratterizzano i chiusi:

1. $X$ e $\varnothing$ sono chiusi, infatti il complementare di $X$ è $\varnothing$, che per la definizione iniziale è aperto, e il complementare di $\varnothing$ è $X$ che è anch'esso aperto;
2. l'intersezione arbitraria di chiusi è chiusa, infatti il complementare dell'intersezione arbitraria, applicando De Morgan, è l'unione arbitraria dei complementari di chiusi, che sono aperti, e quindi è aperto;
3. l'unione finita di chiusi è chiusa e la dimostrazione è analoga a quella precedente.

Se prendiamo queste tre proposizioni come proprietà che deve soddisfare una collezione di sottoinsiemi per essere una topologia, abbiamo la definizione basata sui chiusi.

Notiamo che un sottoinsieme può essere chiuso, aperto, sia aperto sia chiuso, né aperto né chiuso.

Definizione tramite l'operatore di chiusura

Uno spazio topologico può essere definito assegnando all'insieme $X$ una funzione ${\text{cl}}\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ (dall'insieme delle parti di $X$ in sé stesso) detta operatore di chiusura, che soddisfi i quattro assiomi di chiusura di Kuratowski: per ogni coppia di sottoinsiemi $A,B\subseteq X$ si deve avere:

1. ${\text{cl}}(\varnothing )=\varnothing$ (la chiusura del vuoto è il vuoto);
2. $A\subseteq {\text{cl}}(A)$ (estensività);
3. ${\text{cl}}(A\cup B)={\text{cl}}(A)\cup {\text{cl}}(B)$ (preservazione dell'unione);
4. ${\text{cl}}({\text{cl}}(A))={\text{cl}}(A)$ (idempotenza).

Gli insiemi chiusi della topologia sono esattamente i sottoinsiemi $A$ che coincidono con la propria chiusura, ossia per cui ${\text{cl}}(A)=A$.

Altre definizioni

Esistono ulteriori modi per definire univocamente una struttura topologica su un insieme. Ad esempio:

• tramite la convergenza delle reti (una generalizzazione del concetto di successione per spazi non numerabili), specificando per ogni rete l'insieme dei suoi punti di accumulazione;
• tramite una relazione binaria primitiva di "aderenza" tra i punti di $X$ e i suoi sottoinsiemi.

Esempi di spazi topologici

I primi quattro esempi formano uno spazio topologico. Gli ultimi due no: in quello di sinistra manca l'unione {2,3}, in quello di destra manca l'intersezione {2}.

Consideriamo l'insieme $X=\{a,b,c\}$.

• Le collezioni $R=\{\varnothing ,X,\{a\}\}$ e $S=\{\varnothing ,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ sono topologie su $X$.
• La collezione $T=\{\varnothing ,X,\{a\},\{b\}\}$ non è una topologia su $X$: infatti in $T$ manca l'unione di $\{a\}$ e $\{b\}.$

Topologie su un insieme

Un insieme fissato $X$ ammette in generale numerose topologie $T$ differenti. Ad esempio:

• $T=\{\varnothing ,X\}$, detta topologia banale;
• $T={\mathcal {P}}(X)$, detta topologia discreta;
• $T=\{U\subseteq X\;|\;X-U{\text{ è finito}}\}\cup \{\varnothing \}$, detta topologia cofinita.

Qui ${\mathcal {P}}(X)$ è l'insieme delle parti di $X$. Quindi nella topologia banale solo $\varnothing$ e $X$ sono aperti, mentre in quella discreta tutti i sottoinsiemi sono aperti.

Due topologie $T,T'$ su un insieme $X$ sono confrontabili se una delle due è sottoinsieme dell'altra. Se $T$ contiene $T'$, la topologia $T$ è topologia più fine di $T'$.

Ad esempio, su $X=\{a,b,c\}$ la topologia $\{\varnothing ,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ è più fine di $\{\varnothing ,X,\{a\}\}$.

L'insieme di tutte le topologie su $X$ forma con questa relazione un insieme parzialmente ordinato, in cui le topologie banale e discreta sono rispettivamente la meno fine e la più fine di tutte.

Topologia indotta da una metrica

Una delle motivazioni principali alla base della definizione di spazio topologico è la necessità di generalizzare i concetti definiti per gli spazi metrici a contesti matematici più ampi. In tal senso, ogni spazio metrico possiede in modo naturale una struttura topologica, rendendolo l'esempio fondamentale e storicamente più importante di spazio topologico.

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Per ogni punto $x\in X$ e per ogni numero reale $\varepsilon >0$, si definisce bolla aperta (o intorno sferico aperto) di raggio $\varepsilon$ centrata in $x$ l'insieme:

$B_{\varepsilon }(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}.$

In altre parole, la bolla aperta è l'insieme di tutti i punti $y$ dello spazio la cui distanza dal punto $x$ è strettamente minore di $\varepsilon$. Si sottolinea che il concetto di bolla aperta così definito è valido unicamente in presenza di una metrica $d$ ed è quindi limitato agli spazi metrici.

A partire da questa nozione, si definisce la topologia indotta dalla metrica $d$ come la famiglia $\tau _{d}$ costituita da tutti i sottoinsiemi $U\subseteq X$ che soddisfano la seguente proprietà: per ogni $x\in U$ esiste un $\varepsilon >0$ tale che $B_{\varepsilon }(x)\subseteq U$.

In termini informali, un insieme è aperto in questa topologia se e solo se per ogni suo punto è possibile trovare una bolla aperta centrata in esso e interamente contenuta nell'insieme stesso. Lo spazio $(X,\tau _{d})$ prende il nome di spazio topologico indotto da $(X,d)$.

Proprietà degli aperti metrici

Per un generico sottoinsieme $U\subseteq X$, le seguenti tre condizioni sono matematicamente equivalenti:

1. $U$ è un insieme aperto (cioè $U\in \tau _{d}$);
2. per ogni $x\in U$, esiste un $\varepsilon _{x}>0$ tale che $B_{\varepsilon }(x)\subseteq U$;
3. $U$ può essere espresso come unione (finita o infinita) di bolle aperte.

Dalla terza condizione si deduce che le bolle aperte sono esse stesse degli insiemi aperti nella topologia $\tau _{d}$. Più precisamente, l'insieme di tutte le bolle aperte costituisce una base per la topologia dello spazio metrico.

Verifica degli assiomi topologici

La famiglia di insiemi $\tau _{d}$ così definita soddisfa i tre assiomi che caratterizzano uno spazio topologico:

• L'insieme vuoto $\varnothing$ e l'intero spazio $X$ sono aperti: il primo per vacuità, il secondo perché contiene banalmente ogni bolla dei suoi punti.
• L'unione arbitraria di insiemi aperti è ancora un aperto: poiché ogni insieme aperto è unione di bolle aperte, l'unione di più aperti è a sua volta una (più grande) unione di bolle aperte.
• L'intersezione finita di insiemi aperti è un aperto: se un punto $x$ appartiene all'intersezione di due aperti $U_{1}$ e $U_{2}$, allora esistono due raggi $\varepsilon _{1}$ ed $\varepsilon _{2}$ tali che $B_{\varepsilon _{1}}(x)\subseteq U_{1}$ e $B_{\varepsilon _{2}}(x)\subseteq U_{2}$. Scegliendo come raggio il minimo tra i due ($\varepsilon =\min\{\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\}$), la bolla $B_{\varepsilon }(x)$ sarà interamente contenuta sia in $U_{1}$ che in $U_{2}$, e dunque nella loro intersezione.

Altri esempi concreti

Topologia banale, discreta, cofinita e conumerabile

Sia $X$ un insieme. In questo caso, le seguenti famiglie soddisfano gli assiomi della topologia:

• La topologia in cui solo l'insieme vuoto $\varnothing$ e l'intero insieme $X$ sono aperti è detta topologia banale (o indiscreta).
• La topologia in cui ogni sottoinsieme di $X$ è aperto è detta topologia discreta su $X$ (ossia ogni elemento dell'insieme delle parti di $X$ è aperto).
• La topologia in cui l'intero insieme e tutti i sottoinsiemi il cui complemento è finito sono aperti (ossia i chiusi sono gli insiemi finiti e l'intero spazio) è detta topologia cofinita su $X$.
• La topologia in cui l'intero insieme e tutti i sottoinsiemi il cui complemento è numerabile sono aperti (ossia i chiusi sono gli insiemi numerabili e l'intero spazio) è detta topologia conumerabile su $X$.

Le topologie banale e discreta sono strutture topologiche artificiali, per così dire "estreme", ma vengono utilizzate come controesempi per proposizioni topologiche. Inoltre, queste strutture implicano che è possibile definire una topologia su qualsiasi insieme.

La topologia discreta coincide con la topologia indotta dalla metrica discreta su $X$:

$d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&{\text{altrimenti}}.\end{cases}}$

Se $X$ è un insieme di un solo elemento, un insieme finito o un insieme numerabile, allora chiaramente la topologia banale, la topologia cofinita e la topologia conumerabile coincidono tutte con la topologia discreta. In caso contrario, ossia se $X$ ha due o più elementi, è un insieme infinito o un insieme non numerabile, le topologie banale, cofinita e conumerabile non coincidono con la topologia indotta da alcuna distanza su $X$.

Topologia di Zariski

Sia $P=\{2,3,5,7,\ldots \}$ l'insieme dei numeri primi. Per ogni intero $n\in \mathbb {Z}$, definiamo:

$V(n)=\{p\in P\mid n$ è multiplo di $p$ $\}.$

La topologia su $P$ in cui la famiglia dei chiusi è data dagli insiemi $V(n)$ è chiamata topologia di Zariski su $P$. È noto che la topologia di Zariski non coincide con la topologia indotta da alcuna distanza su $P$, ed è un esempio rappresentativo di una topologia non metrizzabile che è comunque un importante oggetto di studio matematico. Il concetto di topologia di Zariski può essere definito anche per l'insieme di tutti gli ideali primi di un generico anello commutativo $R$.

D'altra parte, è possibile definire la topologia di Zariski da una prospettiva completamente diversa. Sia $K$ un campo complesso (o più in generale un campo algebricamente chiuso) e consideriamo $K^{n}$. Per ogni insieme $S$ di polinomi su $K$, definiamo:

$V(S)=\{x\in K^{n}\mid \forall f\in S~:~f(x)=0\}.$

La topologia su $K^{n}$ in cui la famiglia dei chiusi è data dagli insiemi $V(S)$ è chiamata topologia di Zariski su $K^{n}$.

Sebbene i due tipi di topologia di Zariski descritti sopra sembrino a prima vista completamente diversi, è noto che si tratta dello stesso tipo di concetto visto da angolazioni differenti. Il fatto che questi due siano dello stesso tipo è uno dei teoremi più fondamentali della geometria algebrica.

Spazi topologici ottenuti tramite elaborazione

Molti spazi topologici usati in matematica sono creati elaborando spazi topologici noti, come gli spazi metrici. Ad esempio, si può definire una topologia sull'unione o sul prodotto di due spazi topologici noti, oppure considerare una relazione di equivalenza su uno spazio topologico e definire una topologia sull'insieme quoziente risultante.

Uno degli esempi più importanti di spazio topologico ottenuto come risultato di tale elaborazione è la varietà. Una varietà è intuitivamente una superficie $n$-dimensionale, realizzata incollando tra loro più sottoinsiemi di $\mathbb {R} ^{n}$.

Per quanto riguarda quale topologia debba essere definita sull'unione, sul prodotto o sul quoziente di spazi topologici noti, esistono metodi di derivazione generali, che verranno spiegati nella sezione "costruzione di spazi topologici".

Continuità e omeomorfismo

In un contesto puramente topologico, il concetto di continuità per una funzione $f\colon X\to Y$ tra due spazi topologici $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ e $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ viene svincolato dall'uso di distanze numeriche (i classici $\varepsilon$ e $\delta$ dell'analisi matematica) e formulato interamente in termini di struttura topologica (aperti, chiusi o intorni). Se non c'è ambiguità, per enfatizzare che $f$ è una mappa tra due spazi topologici, si utilizza la notazione:

$f\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Continuità globale

Al contrario dell'analisi, dove la definizione di continuità viene generalmente introdotta localmente (limitata ai singoli punti), nel campo della topologia generale, la continuità risulta più intuitiva se definita nativamente a livello globale. Una funzione $f\colon X\to Y$ si dice continua se la controimmagine di ogni insieme aperto del codominio è un insieme aperto nel dominio. In simboli, per ogni insieme aperto $A\in {\mathcal {O}}_{Y}$ si ha che $f^{-1}(A)\in {\mathcal {O}}_{X}$. Questa definizione, di estrema eleganza, racchiude in sé l'idea che una funzione continua non "strappa" lo spazio, preservandone la nozione di vicinanza. Esistono inoltre diverse formulazioni matematicamente equivalenti a questa.

Una funzione è continua se e solo se soddisfa una delle seguenti condizioni:

1. La controimmagine di ogni insieme chiuso di $Y$ è un insieme chiuso di $X$.
2. Per ogni sottoinsieme $A\subseteq X$, l'immagine della chiusura di $A$ è contenuta nella chiusura dell'immagine di $A$: $f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}$.
3. La controimmagine di ogni elemento di una base (o di una prebase) della topologia di $Y$ è un aperto in $X$.

Continuità in un punto

È possibile definire la continuità anche localmente. Una funzione $f\colon X\to Y$ si dice continua in un punto $x\in X$ se la controimmagine di ogni intorno di $f(x)$ è un intorno di $x$. In simboli:

$\forall V\in {\mathcal {N}}_{f(x)},\ f^{-1}(V)\in {\mathcal {N}}_{x}$

• $V$ è un intorno qualsiasi.
• ${\mathcal {N}}_{f(x)}$è la famiglia di tutti gli intorni del punto $f(x)\in Y$.
• $f^{-1}(V)$ è la controimmagine di $V$
• ${\mathcal {N}}_{x}$è la famiglia di tutti gli intorni del punto $x\in X$.

Una funzione risulta essere continua a livello globale (come definito nel paragrafo precedente) se e solo se è continua in ogni singolo punto $x\in X$.

Il problema delle successioni e l'uso delle reti

Negli spazi metrici (o negli spazi che soddisfano il primo assioma di numerabilità), la continuità in un punto può essere descritta facilmente tramite le successioni: $f$ è continua in $x$ se per ogni successione $x_{n}\to x$ si ha che $f(x_{n})\to f(x)$. Tuttavia, in uno spazio topologico generale, le successioni non risultare adatte a descrivere adeguatamente la struttura degli intorni. Per caratterizzare la continuità in spazi topologici del tutto arbitrari, è necessario sostituire il concetto di successione con quello più generale di rete (o, in modo equivalente, utilizzare la teoria dei filtri). Una funzione è continua in $x$ se e solo se per ogni rete $(x_{\lambda }){\lambda \in \Lambda }$ convergente a $x$, la rete immagine $(f(x{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$ converge a $f(x)$.

Omeomorfismo

Siano $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ e $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ due spazi topologici e sia $f\colon X\to Y$ un'applicazione (o funzione). Si dice che $f$ è un omeomorfismo se è una bigezione e sia $f$ che la sua funzione inversa $f^{-1}$ sono continue.

Se tra due spazi topologici $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ e $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ esiste un omeomorfismo, essi si dicono tra loro omeomorfi.

Si può facilmente verificare che l'essere omeomorfi costituisce una relazione di equivalenza nella classe di tutti gli spazi topologici.

Nella topologia generale e in branche come la topologia geometrica, l'obiettivo principale è ricercare le proprietà degli spazi che rimangono invariate sotto omeomorfismo; tali caratteristiche prendono il nome di invarianti topologici (o proprietà topologiche) e vengono utilizzate per classificare e distinguere gli spazi stessi.

Invarianti topologici

Tra le proprietà invarianti per omeomorfismo vi sono i cosiddetti invarianti topologici, ossia "quantità" o caratteristiche determinate esclusivamente dalle proprietà dello spazio topologico. Si dice che una proprietà $I$ è un "invariante topologico" se soddisfa la seguente condizione:

Se $X$ e $Y$ sono omeomorfi, allora $I(X)=I(Y).$

Prendendo la contronominale, si ottiene:

Se $I(X)\neq I(Y),$ allora $X$ e $Y$ non sono omeomorfi.

Pertanto, lo studio degli invarianti topologici è uno strumento fondamentale per classificare e distinguere due spazi.

Un semplice invariante topologico è il "numero di componenti connesse" dello spazio topologico. Intuitivamente, come suggerisce il nome, esso rappresenta il "numero di parti collegate" (o "blocchi") da cui lo spazio è formato. Consideriamo ad esempio i seguenti spazi:

• $X=[0,1];$
• $Y=[0,1]\cup [2,3].$

(Qui con $[a,b]$ si indica l'intervallo chiuso con la topologia indotta dalla distanza euclidea sui numeri reali).

Nello spazio $X$ il numero di componenti connesse è 1, mentre in $Y$ è 2. Poiché i due invarianti sono diversi ($1\neq 2$), si può concludere immediatamente che $X$ e $Y$ non sono omeomorfi.

Gli invarianti topologici giocano un ruolo fondamentale nella topologia; in particolare, gli invarianti di natura algebrica, come i gruppi di omologia e i gruppi di omotopia, costituiscono l'oggetto di studio principale della topologia algebrica.

Confronto e generazione di topologie

Confronto tra topologie

Consideriamo due spazi topologici $(X,{\mathcal {O}}_{1})$ e $(X,{\mathcal {O}}_{2})$ definiti sullo stesso insieme $X$. Se vale la condizione:

${\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}$

Ciò significa che ogni insieme aperto di $(X,{\mathcal {O}}_{1})$ è necessariamente un insieme aperto di $(X,{\mathcal {O}}_{2})$.

• ${\mathcal {O}}_{2}$ è la topologia più fine (o più forte, o più grande): essa contiene il maggior numero di aperti.
• ${\mathcal {O}}_{1}$ è la topologia meno fine (o più debole, o più piccola): essa contiene il minor numero di aperti.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché ${\mathcal {O}}_{1}$ sia meno fine di ${\mathcal {O}}_{2}$ è che la mappa identità:

$\operatorname {id} ~:~(X,{\mathcal {O}}_{2})\to (X,{\mathcal {O}}_{1}),\ \ x\mapsto x$

sia continua. Pertanto, una rete che converge in ${\mathcal {O}}_{2}$ convergerà anche in ${\mathcal {O}}_{1}$, ma il viceversa non è necessariamente vero.

Generazione di una topologia

Poiché non è sempre possibile definire una topologia elencando tutti i suoi aperti (che possono essere infiniti e complessi), è spesso più conveniente specificare una famiglia più piccola di insiemi generatori. Questo avviene principalmente attraverso i concetti di base e prebase.

Base di una topologia

Sia $(X,{\mathcal {O}})$ uno spazio topologico. Una famiglia ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {O}}$ di aperti si dice una base per la topologia ${\mathcal {O}}$ se ogni insieme aperto non vuoto di ${\mathcal {O}}$ può essere scritto come unione di elementi di ${\mathcal {B}}$.

In termini formali, ${\mathcal {B}}$ è una base se:

$\forall A\in {\mathcal {O}},\exists {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ tale che }}A=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}'}B$

Caratterizzazione di una base

Non ogni collezione di sottoinsiemi di $X$ può essere base topologica. Affinché una famiglia ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)$ sia base di una qualche topologia su $X$, deve soddisfare due condizioni:

1. Copertura: L'unione degli elementi di ${\mathcal {B}}$ deve coincidere con $X$ (cioè ogni punto di $X$ è contenuto in almeno un elemento della base).
2. Intersezione: Per ogni coppia di elementi $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ e ogni punto $x\in B_{1}\cap B_{2}$, deve esistere un terzo elemento $B_{3}\in {\mathcal {B}}$ tale che $x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$.

Prebase (o sottobase)

Una prebase è una collezione di sottoinsiemi di $X$ ancora più arbitraria di una base. Sia ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)$ una famiglia qualunque di sottoinsiemi. La topologia ${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$ generata da ${\mathcal {S}}$ è definita come la topologia più debole (ovvero la collezione più piccola) che contiene ${\mathcal {S}}$.

Costruzione della topologia da una prebase

Mentre per ottenere una topologia da una base è sufficiente prendere tutte le unioni possibili, partendo da una prebase ${\mathcal {S}}$ il processo avviene in due passaggi:

1. Costruzione della base: Si forma la collezione ${\mathcal {B}}$ di tutte le intersezioni finite di elementi di ${\mathcal {S}}$. (Si include $X$ come intersezione di una famiglia vuota di elementi di ${\mathcal {S}}$).
2. Costruzione della topologia: Si definisce ${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$ come la famiglia di tutte le unioni possibili di elementi di ${\mathcal {B}}$.

In sintesi, gli aperti di una topologia generata da una prebase ${\mathcal {S}}$ sono le unioni di intersezioni finite di elementi di ${\mathcal {S}}$.

Relazione con i sistemi di intorni

Il concetto di base locale (o sistema fondamentale di intorni) permette di collegare la struttura globale della topologia alla struttura locale attorno ai punti:

• Se ${\mathcal {B}}$ è una base della topologia, allora per ogni $x\in X$, la sotto-famiglia ${\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}\mid x\in B\}$ è un sistema fondamentale di intorni aperti di $x$.
• Viceversa, se per ogni $x\in X$ è assegnata una base locale di aperti ${\mathcal {N}}_{x}$, allora l'unione $\bigcup _{x\in X}{\mathcal {N}}_{x}$ costituisce una base per la topologia.

L'ordine delle topologie

Considerando la relazione "più debole/più forte" come una relazione d'ordine tra le topologie, l'insieme delle topologie su $X$:

$\{{\mathcal {O}}\mid (X,{\mathcal {O}})$ è uno spazio topologico$\}$

diventa un insieme ordinato. Questo insieme ordinato è un reticolo completo, dove:

$\sup _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })$ = (topologia generata da $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }$)

$\inf _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }$

La topologia più debole è la topologia banale, quella più forte è la topologia discreta.

Costruzione di spazi topologici

Descriviamo i metodi per creare nuovi spazi topologici elaborando spazi topologici esistenti.

La base per elaborare gli spazi topologici sono i concetti di "topologia iniziale" e "topologia finale" (e i loro casi speciali: topologia indotta, topologia co-indotta, topologia di sottospazio, topologia quoziente).

Questi concetti sono duali tra loro; invertendo la direzione delle mappe si può passare dall'uno all'altro. Si noti che la topologia iniziale e la topologia finale sono esempi rispettivamente di limite e colimite nella Teoria delle categorie.

Topologia iniziale, indotta, di sottospazio e prodotto

Innanzitutto definiamo il concetto di topologia iniziale:

Sia $X$ un insieme, sia $\{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$ una famiglia di spazi topologici e consideriamo una famiglia di mappe:

$f_{\lambda }\colon X\to Y_{\lambda }$

In questo caso, la topologia più debole su $X$ che rende tutte le $f_{\lambda }$ continue è chiamata topologia iniziale di $X$ rispetto a $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$.

I seguenti casi speciali della topologia iniziale sono importanti. Qui $X$ è un insieme.

Nome	Definizione
Topologia indotta	La topologia iniziale su $X$ definita da uno spazio topologico $(Y,{\mathcal {O}})$ e una mappa $f\colon X\to Y$.
Topologia di sottospazio (o relativa)	Dato un sottoinsieme $X$ di uno spazio topologico $(Y,{\mathcal {O}})$, è la topologia indotta dalla mappa di inclusione $\iota \colon X\hookrightarrow Y,\ x\mapsto x$. $X$ con la topologia di sottospazio è chiamato sottospazio di $(Y,{\mathcal {O}})$.
Topologia prodotto (detta anche di Tychonoff)	Data una famiglia di spazi topologici $\{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$, è la topologia iniziale definita sul prodotto $Y=\prod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }$ dalla famiglia delle proiezioni $\pi _{\lambda }\colon Y\to X_{\lambda }$. Il prodotto $Y$ con la topologia prodotto è chiamato spazio prodotto.

Queste possono essere espresse più concretamente:

Definendo i simboli come sopra:

• La famiglia degli aperti della topologia indotta coincide con $f^{*}({\mathcal {O}}):=\{f^{-1}(O)\mid O\in {\mathcal {O}}\}$.
• La famiglia degli aperti della topologia di sottospazio coincide con $\{O\cap X\mid O\in {\mathcal {O}}\}$.
• La topologia prodotto ha come base la famiglia:

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }{\text{ e }}O_{\lambda }=X_{\lambda }{\text{ per quasi tutti i }}\lambda \right\}$

(dove l'espressione "per quasi tutti" indica che $O_{\lambda }=X_{\lambda }$ per tutti i $\lambda$ tranne un numero finito).

Riguardo alla topologia prodotto, se $\Lambda$ è un insieme finito la condizione "tranne un numero finito di $\lambda$" diventa superflua, ma se $\Lambda$ è un insieme infinito è necessaria cautela. Ad esempio, siano $\mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\dots$ infinite copie numerabili di $\mathbb {R}$ e siano $U_{1},U_{2},\dots$ infinite copie dell'intervallo $U=(0,1)$. In questo caso, il prodotto:

$\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$

non è un insieme aperto nello spazio prodotto $\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}$. Infatti, non soddisfa la condizione "tranne un numero finito..." e non può essere scritto come unione di insiemi che la soddisfano.

Al contrario, sul prodotto è possibile definire anche una topologia che renda $\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ un aperto: data una famiglia di spazi topologici $(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$, la topologia su $\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$ che ha come base:

${\mathcal {B}}_{\text{box}}=\left\{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda \colon O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\right\}$

è chiamata topologia della scatola (box topology).

La topologia della scatola è una topologia più forte (più fine) della topologia prodotto.

Topologia finale, co-indotta, quoziente e di somma disgiunta

Definiamo innanzitutto la topologia finale in modo duale alla topologia iniziale:

Sia $X$ un insieme, sia $\{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$ una famiglia di spazi topologici e consideriamo una famiglia di mappe:

$f_{\lambda }\colon Y_{\lambda }\to X$

In questo caso, la topologia più forte su $X$ che rende tutte le $f_{\lambda }$ continue è chiamata topologia finale di $X$ rispetto a $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$.

Si possono definire i seguenti casi speciali della topologia finale, duali alla topologia indotta, di sottospazio, iniziale e prodotto. Qui $X$ è un insieme:

Nome	Definizione
Topologia co-indotta	La topologia finale su $X$ definita da uno spazio topologico $(Y,{\mathcal {O}})$ e una mappa $f\colon Y\to X$.
Topologia quoziente	Sia $(Y,{\mathcal {O}})$ uno spazio topologico, sia $\sim$ una relazione di equivalenza su $Y$ e sia $[x]$ la classe di equivalenza di $x\in Y$. La topologia quoziente è la topologia co-indotta sull'insieme quoziente $X=Y/{\sim }$ dalla mappa quoziente $\pi \colon Y\to Y/{\sim },\;x\mapsto [x]$.
Topologia di somma disgiunta	Data una famiglia di spazi topologici $\{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$, è la topologia finale definita sulla unione disgiunta $\coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$ dalla famiglia delle mappe di inclusione $\iota _{\lambda }\colon X_{\lambda }\hookrightarrow \coprod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }$.

Queste possono essere espresse più concretamente:

Definendo i simboli come sopra:

• La famiglia degli aperti della topologia co-indotta coincide con $f_{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subseteq X\mid f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$.
• La famiglia degli aperti della topologia quoziente coincide con $\pi _{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subseteq X\mid \pi ^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$.
• La famiglia degli aperti della topologia di somma disgiunta coincide con:

${\mathcal {O}}_{\text{sum}}=\left\{\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda \colon O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\right\}$

Generalizzazioni

A volte serve usare gli strumenti della topologia, ma non è disponibile un "insieme di punti". Si può allora ricorrere alla topologia formale, basata sull'ordinamento e la convergenza di insiemi aperti come fondamento teorico; mentre le topologie di Grothendieck sono strutture particolari definite su categorie formali che permettono la definizione di fasci su tali categorie, e con esse la definizione di teorie di coomologia molto generali.

Spazi Astratti

Ulteriori spazi astratti e loro relazioni

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Munkres J. R., Topology, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000.
• Hausdorff, Set Theory, 2nd ed., New York: Chelsea, 1962.
• Berge C., Topological Spaces Including a Treatment of Multi-Valued Functions, Vector Spaces and Convexity, New York: Dover, 1997.
• Checcucci V., Tognoli A., Vesentini E., Lezioni di Topologia Generale', Milano: Feltrinelli, 1968.
• Kelley J.L., General Topology, Princeton: van Nostrand Company, 1955.
• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.

Voci correlate

• Assioma di separazione
• Topologia
• Base
• Prebase
• Topologia prodotto
• Spazio di Hausdorff
• Spazio topologico vettoriale

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sullo spazio topologico

Collegamenti esterni

• spazio topologico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) topological space, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Topological Space, su MathWorld, Wolfram Research.