バーニングシップフラクタルと仲間たち5-5

どうも、108Hassiumです。

バーニングシップフラクタルと同じような「$${z^2+c}$$に絶対値関数を混ぜてできるフラクタル図形」をひたすら紹介する記事、第5弾(内容的には実質第4弾)の続きです。

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分割

以前、こんな記事を書きました。

この記事の後半では、「バーニングシップフラクタルと仲間たち」で取り上げた関数がどれも$${\pm z^2+c}$$と$${\pm\text{con}(z)^2+c}$$を切り貼りしてできた関数になっている、という話をしました。

※視認性を考慮して従来の記事のものとは異なる彩色関数を使用しています。

実はシリーズ第3弾以降で紹介した関数にも似たような性質があり、それぞれ独自の構成要素を持っています。

まず$${(f_1(x)+if_2(y))(f_3(x)+if_4(y))+c}$$は、$${\pm z^2+c}$$と$${\pm\text{con}(z)^2+c}$$に加えて$${\pm z\text{con}(z)+c}$$という関数の組み合わせとして分解できます。

なお、この関数群では$${(f_1(x^2-y^2)+a,2f_2(x)f_3(y)+b)}$$とは違って斜めの線での接合は無いようです。

$${(f_1(f_2(x)x-f_3(y)y)+a,2f_4(x)f_5(y)+b)}$$の場合は、普通の複素数の$${\pm z^2+c}$$と$${\pm\text{con}(z)^2+c}$$に加えて、分解型複素数の$${\pm z^2+c}$$と$${\pm\text{con}(z)^2+c}$$に対応する$${(\pm(x^2+y^2)+a,\pm2xy+b)}$$(複号任意)との組み合わせに分解できます。

最後は$${(f_1(f_2(x)+f_3(y))f_4(f_5(x)+f_6(y))+a,2f_7(x)f_8(y)+b)}$$ですが、$${\pm z^2+c}$$と$${\pm\text{con}(z)^2+c}$$に加えて以下の8種類の関数の組み合わせとして表せるようです。

• $${(x^2+2xy+y^2+a,2xy+b)}$$

• $${(-x^2-2xy-y^2+a,-2xy+b)}$$

• $${(x^2-2xy+y^2+a,2xy+b)}$$

• $${(-x^2+2xy-y^2+a,-2xy+b)}$$

• $${(x^2+2xy+y^2+a,-2xy+b)}$$

• $${(-x^2-2xy-y^2+a,2xy+b)}$$

• $${(x^2-2xy+y^2+a,-2xy+b)}$$

• $${(-x^2+2xy-y^2+a,2xy+b)}$$

マンデルブロ集合の形状としては$${(x^2+2xy+y^2+a,2xy+b)}$$と$${(x^2+2xy+y^2+a,-2xy+b)}$$の2種類しか無いのですが、他の構成要素と違って実軸についての線対称性が無いので種類が増えるようです。

さて、これらの18種類の関数がどのように繋げられるか調べるために、以下のような図を作成しました。

各関数について接合線上での値を計算し、値が一致する箇所を同じ色で塗りました。

多項式関数に絶対値を混ぜた関数は連続関数になるので、このシリーズで扱う関数は接合線上での値が一致しているものに限られます。

まず、$${y=0}$$と$${x=0}$$の列が全て赤かシアンになっているのが目立ちます。

これはつまり、どの関数も実軸と虚軸上で$${z^2+c}$$か$${-z^2+c}$$と接続可能であることを意味します。

また、残りの$${y=\pm x}$$の列はかなりカラフルになっていて、ほとんど他の関数と接続できないことがわかります。

特に$${\pm z\text{con}(z)+c}$$と分解型複素数関連の関数は、斜めの線では一切接続できないことがわかります。

一方で$${(f_1(f_2(x)+f_3(y))f_4(f_5(x)+f_6(y))+a,2f_7(x)f_8(y)+b)}$$系の構成要素である8つの関数は、2本の斜めの線のうち一方で他の関数と接続可能なようです。

ちなみに、$${z\text{con}(z)+c}$$と$${(x^2+y^2+a,2xy+b)}$$のような別系列の構成要素が混ざった関数も連続関数として存在することが可能であり、簡単な式で表せるものも存在するようです。