質点＆剛体の運動学について -2-
まえがき
微分積分をはじめとする高等数学を踏まえて、様々な物理学に対する見方をテーマを決めて、連載形式で発信します。
今回のテーマは「質点と剛体の運動学」です。
私たちが物体の動作を認識する現象の見え方は様々です。例えば、コップがテーブルから落ちる、車が坂を下る、人が歩くなど、個別で基本動作がありますが、力学ではこれらをシンプルなモデルとして扱います。
すなわち、高校物理でも習う「運動方程式」を用いて、物体運動を数学的に記述すること。今回は質点や剛体の運動に焦点を絞り、基本的な物体運動モデルを考えることにします。
質点＆剛体と運動学の概要
質点の運動方程式 →【今回】
剛体の運動方程式
♦️前回記事（再掲）
前回は物体の運動学の基礎事項として、質点と剛体のモデル化の違いについて、物理的観点から説明しました。
今回は主に質点の力学について、運動方程式から説明します。続けて、簡単な質点運動の事例を考えていきます。
ニュートンの運動法則
物体運動を表す物理量である「変位・速度・速度度」の基本的な関係は、下記の通りです。数学の「微分積分」による相互関係が成り立つことが、ここでのポイントです。
運動と力の因果関係を体系化しながら、物体運動を表現します。これは力学の本質であり、起点となる数学的手法こそ「運動方程式」なのです。
これは物理学者「アイザック・ニュートン」が提唱した、物体運動における３つの基本法則のひとつです。現在も様々な工業分野の基礎として、大いに活用されています。
第１法則：物体は新たに外力が与えられない限り、その運動の状態を保持します。慣性の法則とも呼ばれています。
第２法則：物体に生じる加速度は、物体に与えられた力に比例します。また、物体の質量に反比例します。
第３法則：物体Ａから物体Ｂに力が加えられると、物体Ｂには同じ大きさで反対方向の力が作用します。作用・反作用の法則とも呼ばれています。
なお、第２法則で示される運動方程式を別の言い方にするならば、物体の運動量の時間変化は、物体に作用する力と等価と言えます。
力と加速度はいずれもベクトル量です。先述したことを踏まえると、運動方程式の次の通りに記述されます。
$${\bm{F}=m\bm{a}=m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}}$$
この形式は「微分方程式」と呼ばれます。物体運動を詳細に求めるには避けて通れませんが、微分積分の計算に慣れていない高校課程では、困難とされる側面も現実にあります。
ただし、単純な物体運動の問題については、現行の高校数学の範囲で十分に対応できます。ここでは、２種類の実例を考えます。
１次元の自由落下運動
まずは、物体を質点（単体）とみなした、１次元の自由落下運動について取り上げます。外力は重力（場）に限定します。
独立変数は時間ｔだけですので、変位ｘは時間ｔによる１変数関数で表現されます。ここで、力や変位・速度・加速度はベクトル量ですが、１次元問題であるため、これらの変数もスカラー量で扱うことにします。
外力Ｆは重力（場）に限られます。物体に作用する重力は、物体の質量と重力加速度の積です。これより、鉛直下向きを正とすると、運動方程式は次の通りに表現されます。
$${m\frac{d^2x}{dt^2}=mg}$$ → $${\frac{d^2x}{dt^2}=g}$$
つまり、物体に生じる加速度は時間に依存しない定数です。
$${a=g=const.}$$
運動方程式（微分方程式）を起点に、物体の速度や変位を求めます。速度は加速度を積分することで求められます。
$${v=\int{a\,dt}=g\int{dt}=gt+C_1}$$
上記は不定積分ですので、積分定数（Ｃと表記）を伴います。続けて、速度を積分して変位を求めます。
$${x=\int{v\,dt}=\int{(gt+C_1)\,dt}=\frac{1}{2}gt^2+C_1{t}+C_2}$$
こうして、２個の積分定数を伴う一般解が求められました。物理では、初期条件や境界条件などの制約条件を利用して、積分定数を求めます。
微分方程式で求められる解は、独立変数（今回は時間）の関数で表現されます。積分の過程で現れる積分定数を含めた解は「一般解」と呼ばれます。また、制約条件を利用して積分定数を特定した解は「特殊解」と呼ばれます。
今回は制約条件として、原点を物体の初期配置として、初速度もゼロであると仮定します。
初期条件：$${t=0}$$で$${x=0\,{,}\,v=0}$$ → $${C_1=C_2=0}$$
これより、変位と速度（特殊解）は次の通りに求められます。
$${x=\frac{1}{2}gt^2}$$ , $${v=gt}$$
なお、初期配置や初速度を考慮する場合は、制約条件（初期条件）が変わるため、それに応じて特殊解も変わります。
２次元の水平投射運動
次に物体を水平方向に投射した場合について考えます。質点運動の２次元問題として、前節と同様に外力は重力（場）に限定します。
水平方向（変位）をｘとして、重力は作用しません。物体の推進方向を正とします。
落下方向（変位）をｙとして、重力が働く鉛直方向を正とします。
今回は２次元問題です。基本的には、各軸方向について個別に運動方程式を立てて、それぞれに対して特殊解を求めます。
水平方向の外力は存在せず、落下方向は重力のみです。運動方程式は次の通りになります。
$${m\frac{d^2x}{dt^2}=0}$$ , $${m\frac{d^2y}{dt^2}=mg}$$
前節と同様の流れに則り、水平方向について、積分計算から速度と変位の一般解を求めます。
$${v_x=\frac{dx}{dt}=C_1}$$ , $${x=C_1{t}+C_2}$$
落下方向については、前節の流れと同様です。
$${v_y=\frac{dy}{dt}=gt+C_3}$$ , $${y=\frac{1}{2}gt^2+C_3{t}+C_4}$$
制約条件（初期条件）は次の通りとします。水平方向と落下方向のそれぞれについて、特殊解を求めます。
水平方向：$${t=0}$$で$${x=0\,{,}\,v_x=v_0}$$
落下方向：$${t=0}$$で$${y=0\,{,}\,v_y=0}$$
これらの初期条件から、積分定数を求めます。
$${C_1=v_0\,{,}\,C_2=0\,{,}\,C_3=0\,{,}\,C_4=0}$$
変位と速度（特殊解）は次の通りです。２次元問題であることから、これらの解は、ベクトル量として見たときの「成分」に相当します。
水平方向：$${x=v_0{t}}$$ , $${v_x=v_0}$$
落下方向：$${y=\frac{1}{2}gt^2}$$ , $${v_y=gt}$$
例えば、速度を本来のベクトル量（表記）で記述するならば、次の通りになります。
$${\bm{v}=(v_x,v_y)=(v_0,gt)}$$
また、ベクトルの定義に倣って、ベクトル量である速度を大きさ（スカラー表記）に変換することも可能です。
$${|\bm{v}|=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=\sqrt{{v_0}^2+(gt)^2}}$$
今回は外力を重力（場）に限定して話を進めました。ただし、現実は物体の落下速度が単調に増加する訳ではありません。一般的に、流体的作用のひとつとされる「粘性抵抗」により、落下の加速度がゼロに収束します。
おわりに
今回のテーマは質点と剛体の運動学について。第２回は質点運動を運動方程式を解くことで、解析的に求める過程を実例を通して示しました。
次回は剛体の力学について、今回と同様に運動方程式を数学的に記述することから、確認をしていきます。
質点＆剛体と運動学の概要
質点の運動方程式
剛体の運動方程式 →【次回】
高校物理で必修的に登場するものとして、質点の等加速度直線運動の問題があります。公式として扱われることも多いですが、その背景には今回で紹介したような微分積分の知識があります。
次回は大学レベルの話題に突入することになりますが、引き続き、よろしくお願いいたします。
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最後まで読んで頂き、ありがとうございます。この記事が、何か皆さんの未来を変えるキッカケになれたら幸いです。
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