あ！くまの数字？「６」🧸

それは偶然か？必然か？捏造か？調整か？

あまりまとまった話ではないです。
今日は数字あそび、数値あそびで見つけたことを記録した私的ノートです。

見出しのサムネイルが可愛い！🧸新しい画像生成でタイトルから作らせた！

宇宙式と名付けられた平方数より始まった

賢狼 AI と、数の話でずっと盛り上がっている

整数と素数の関係式に、

$$
N + 1 = (P + 1)^2
$$

という素数平方数と整数の関係がある。何時からか何故そう呼ぶのか忘れたが、それを二人で「宇宙式」と呼びあって認識し会話に時折登場する。

式の性能は詳細は以下より。

今回は式を、整理する。

$$
N = (P + 1)^2 - 1
$$

そして、この補正項の $${-1}$$ を、外す。

$$
N = (P + 1)^2
$$

とてもシンプルとなった。

値を入れて計算する

$$
P = 2 \times 3 \times 5 = 30
$$

$$
N = (30 + 1)^2 = 31^2 = 961
$$

ふと６乗根したくなった

$${\sqrt[6]{N}}$$ である。６乗したら $${N}$$ になる。

$$
\sqrt[6]{961} = 961^{(1/6)} = 3.1413806523913927
$$

なんか！円周率 π っぽい数字が出てきた！

961.??? いくつだったら円周率となるのだろう？
Python で、ちまちま探した（いや `math.pi**6` しなよ…）

>>> 961.38919357530449**(1/6)
3.141592653589793
>>> math.pi-961.38919357530449**(1/6)
0.0  # ←誤差なし
>>> math.pi**6-961
0.3891935753042617 # ←小数部の差

$${\Large{π^6 ≈ 961.38919357530449}}$$

そして、唐突にゼータ関数ζ(s)

この数字どこかで？🤔
まず「６」と言う数字。悪魔だ！（←違うから）

$$
\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}
$$

バーゼル問題の解である。
６は円周率の平方数に関係する。
そして…。

$$
ζ(6) = \frac{\pi^6}{\Large 945}
$$

また $${\pi}$$ が出てくる。
これはオイラーさんが一般化した式があって、

$$
\zeta(2n)=(-1)^{n+1}\cdot\frac{B_{2n}\cdot(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \quad (B_{2n}=ベルヌーイ数)
$$

と、なるそうです。

945

945 だけ、でっかく表示されていた？
何でですかね？（とぼけている）

$$
ζ(6) = \frac{\pi^6}{945}\\
↓\\
ζ(6)\cdot 945 = \pi^6\\
↓\\
\pi^6 = ζ(6)\cdot 945
$$

つまり $${\zeta(6)}$$ の 945 倍は $${\pi^6}$$ と等しい。なので、
$${ζ(6)\times 945 = \Large 961.38919357530449}$$ という数字が出てくる。

961 を発見！

何の繋がりがあるかは不明。ただ「６」という数字を追いかけていた。
そこに円周率 $${\pi}$$ という定数が現れる。

数字あそび

$$
\pi^6/(945=(2+1)^{\mathrm{cube}}\times7\times(8-3)) \quad (\mathrm{cube}=3乗)\\
\vdots\\
\zeta(6)\cdot(945=(2+1)^{\mathrm{3}}\times7\times(8-3)))=\pi^6\\
\vdots\\
すべての  1  2  3  4  5  6  7  8  9  数字を登場させたかった\\
対して意味はなかった…
$$

ん？

$$
\zeta(6)\cdot945 = π^6
$$

他のゼータ関数解も $${\zeta(2n)\cdot Q=\pi^{2n}}$$ だねぇ。
$${Q}$$ は $${\pi^{2n}}$$ になるように調整している…調整項…か…？（）

ネイピア数 e

これもきっと直接の関係はないだろう（？）小数部だけを比較した。

>>> import mpmath as mp
>>> z6=mp.zeta(6)
>>> z6pi=z6*945
>>> z6pi
mpf('961.38919357530449')
>>> (z6pi-961)/(mp.pi-3)
mpf('2.7486848041708329')
>>> mp.e
<e = exp(1): 2.71828~>

少し誤差が大きいが $${\pi^6}$$ と $${π}$$ の小数部の比はネイピア数 $${e}$$ に近い。「６」のマジック！

動的調和数論的思考

宇宙式も整数解を持つポイント点がいくつかある二次関数

$$
N = (P+1)^2 -1
$$

これを好きな整数解にしたい場合

$$
N = \left((P\cdot e^{k_x}+1)^2 -1\right)\cdot e^{k_y}
$$

と、調整指数項を入れてしまえば $${N, P}$$ の整数解を自在に操れる。

また $${\pi}$$ と絡めたければ、

$$
N\cdot\pi = \left((P\cdot e^{k_x}+1)^2 -1\right)\cdot e^{k_y}\\
\vdots\\
N = \frac{\left((P\cdot e^{k_x}+1)^2 -1\right)\cdot e^{k_y}\\}{\pi}
$$

とでもして $${e^{k_x}, e^{k_y}}$$ を調整する…。

この式は N が異常に早く発散するので、これでゆっくり発散とさせても良いかもしれない…。発散し過ぎたら調整項を動的に変えても良い。調整項変更ログがあれば、それを元にもとに戻せる。

とか、捏造…調整し放題である。
成長指数さえ解れば、その指数も一緒に $${e^k}$$ 比例させれば良い。

「６」

この６と言う数字は、宇宙の本質を教えてくれているのではないだろうか？
３次元空間＋１時空次元＝４次元空間として私達はこの世界を認識している

もしかして、あと２次元ある？

１つは、想像つく「複素数」世界の１次元。いや、ここに２次元分あるか！

実軸はこちらの次元なのでカウントされない。虚軸が１次元分。
では、もう１次元は？現実との比較で見えてきたのが符号の次元である。

我々は、時空の元、進行方向はプラス（＋）方向のみで進行する。
後戻りはできないのでマイナス（－）は無い。
しかし、複素面では－１まではある。オイラーの等式（公式）より、

$$
e^{i\pi} = -1
$$

これが、実軸の原点 $${O(0,0)}$$ の上にある。実軸原点 $${O}$$ 上が現在、「今」であるなら、時空の進行 $${Δt}$$ 時間進行フレームの「１」であるとするならば、過去の状態が「ー１」である。これが時空の複素投影での符号次元として現れている。とも、捉えられる。

時空の変位は、「今」の状態だけでは説明できない。過去のフレームからの今。そして、今からの未来。その３情報で変位を成す。

量子観測できない確率的現象の背景には、量子はこの現在点、実軸原点 $${O}$$ の前後を行き来できる可動範囲の可能性。観測は原点のみで行う。などと想像してみる。

６は完全数 $${1+2+3=6,  または、1 \times 2 \times 3 = 6}$$ 最小数
正６角形＝ハニカム構造、最も効率の良い形状となる最小単位など。

６次元空間。が、真である。と言っているのかも知れない。🧸６

2025/03/28  3:53

D.