素数の周期性と可逆な世界（0.2）

0.2章とするには内容がちょっと濃すぎだし、中学生には解らないわねぇ…。
高校生でなんとか？グラフ可視化で雰囲気だけ感じてもらえれば…。

前回

素数についての基礎と、素数の覚え方について話しました。
素数にはパターンがありそのパターンを読み解くことで覚えやすくする。
という視点でした。

今回は、グラフで見る素数の周期性パターンを見てみます。

素数の波

素数を波に変換します。変換に使う関数は三角関数のコサイン$${\cos(x)}$$です。

$$
f(x) = \cos(x)
$$

この $${x}$$ に素数 $${p}$$ を使います。
しかし $${x=p}$$ としても定数となり動きません。なので動かすために時間$${t}$$を導入します。そして素数が大きくなると早くなりすぎるので逆数として$${\frac{1}{p}}$$とし、さらに回転角に変換$${(2\pi=360°)}$$します。

$$
f(x) = \cos\left(\frac{1}{p}\cdot 2\pi t\right)
$$

これで時間を進めると各素数の周期波 1/p Hz の波が作れます。

スタート点 t = 0 においてはすべてが 1.00 同時スタートで重なっています。
各素数が互いに 1.00 と重なる場所を観測してみてください。

p = {2, 3} は 6 の倍数の t = 6, 12, 18, 24, …
p = {2, 5} は 10 の倍数 t = 10, 20, 30, …
p = {3, 5} は 15 の倍数 t = 15, 30, …

ですね。互いの素数の積（掛け算）の倍数で重なります！（←ポイント）

p = {2, 3, 5} の３つでは？

🟥赤の縦点線 $${2\times3\times5=30}$$ 周期で重なります。

つまり素数の積 LCM(2, 3, 5)=30 最小公倍数の周期で繰り返されています！

これも素数の性質の覚えやすい法則のひとつです。

素数の波の対称性

先程のグラフに明るい🟪紫の縦の点線が描かれているところに注目してください。t = {15, 45} の部分です。その部分を中心に左右対称となるパターンが見えると思います。これが素数の対称性というパターンに関わってきます。

素数の積

$$
P_k = \prod_{p\in\mathbb{P}} p
$$

対称中心

$$
P_{c} = \frac{P_k}{2}
$$

もっと重なったら？

p = {2, 3, 5, 7, 11} ５個の素数を見てみますか？

$${2\times3\times5\times7\times11=30\times7\times11=210\times10 + 210 = 2100 + 210 = \Large 2310}$$

と、なります。

じゃあ、１０個の素数ならば…。

p = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} = 64,6969,3230

なんと６４億７千万近い $${t}$$ まで進まないと１周期に到達しません！

実際にその場所まで観測！すべて重なってますね！

素数の積の恐ろしさ？

たった１０個の素数ですよ？じゃあ１００以下の素数では…と、考えると…１０００個の素数、１万の素数、世界最大の４２００万桁の素数まででは？もう宇宙の果に到達しそうですね😅

素数の周期＝素数の積で最小公倍数

最小公倍数がそのまま素数の積となる。これは素数が圧縮できない事を意味します。しかし、対称性という観点では真ん中を折り返して半分には出来ます。素数の使用個数を制限＝有限で見たら半分にはなる。しかし、無限ではどうでしょうかねぇ？構造的には真ん中が常にあるので半分は解るでしょうが終わりがない。という観点では、真ん中も移動し続ける。どのタイミングで折り曲げればよいのかは不明瞭となる。

素数の波の合成

素数の波を合成して合成波を作ります。自然界にはあらゆる波が飛び交っていますが、最終的には全て重なって合成波として伝播します。なので素数も重ねてしまいます。

$$
P_{\text{cw}}(t) = \sum_{p\in\mathbb{P}}{\cos\left(\frac{2\pi t}{p}\right)}
$$

グラフで素数合成波形を見る

これが p = cos(2+3+5) と重ねた結果です。

３０を周期に繰り返されています。始まり t = 0 はすべて 1.0 なので合計 3.0 で山のピークです。 t = {30, 60, 90, 120} すべて同様にピークとなります。

谷のピークでちょうど３倍の－３となる箇所は存在しません。

理由は素数だから。と、言ってしまえば早い。けれど、証明するには素数を無限に拡張して説明する必要があり、そこから最小公倍数の半周期の倍数が無いを言えれば良い。他にもいろいろある。これはまた別の話で書く？

谷間のピーク点について

実は、このグラフにおいて面白いのが、谷間のピーク点は素数の数に密接な関係を持っている位置である事。

この例だと－１以下の谷は、
{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …, 30n周期＋谷ピーク付近の整数}
と、なっています。

これらは前回、話しに出た素数基数倍周期の素数剰余類に位置する場所。
素数の重なる波が、他の素数の場所を教えてくれる波形となるのです。

原理は簡単。素数波形の始まりは1.0から1.0→0.0→1.0という波を描きます。
0.0 が最もその素数の倍数から遠い場所です。よって、すべての素数の0.0が重なり一番弱くなる場所が、それらの素数の倍数よりも最も遠い数となり、それが新たな素数である可能性が非常に高い場所である。

という事をこのグラフで示してくれているのです。

素数の出現位置は、最初の素数の数個すうこで後半の新たな素数候補を割り出し、見つかった素数の波形を重ねていくと、再び重ならなかった場所が新たな素数として発見できる。という、エラトステネスの篩のような可視化が可能です。

合成波を重ねていくと？

p = (2+3+5) からさらに +7, +11, …, +29 までの素数の波を合成した波形を、さらに重ねてどのように形状が変化するかをグラフにしました。

+7 するだけで周期は 210 となり 105 を中心とした左右対称波形となります

周期の長さは素数の積なので $${(2\times3\times5=30) \times 7 = 210}$$ となります。
小さな素数からの積ですが、この周期の次の素数は大きな素数になるわけですから、どんどん長くなります。P=2…29 のたった１０個でも６４億７千万に達する。

本当に？

じゃじゃーん！

ピークが１０個の１０を指してますね。ここが１周期で繰り返されます。

素数の周期とは？

素数を波として観測してみました。素数の周期は素数の積、掛け算した最小公倍数 (LCM) で繰り返されることが解ったと思います。

素数は無限にある。と言われている（※証明されている）無限∞の世界には無限の素数がある。逆に有限の世界には有限の素数しか無く、それに伴って整数も有限となる。整数は素数原子によって構成される。逆に整数が新たに生まれると素数原子も新たに生まれる。これが相互関係、因果関係となり、無限に素数は存在するとなる。（整数に終わりがない。とするならば。）

$$
N + 1 = (P + 1)^2
$$

の関係（いまここでは、これはあまり関係ないけれども）

ここでは何が言いたいのか？

有限世界の素数周期は必ず繰り返される。
無限世界の素数周期は永遠に繰り返されることはない。

この大きな違いがある。ということです。

素数の周期性がこの話の主題テーマ「時間の矢」と「可逆な世界」を語れる道具になります。

今回は、ここで〆ておきます。

2025/05/22 14:29

D.