約数と倍数に注目するデザイン《後編》

前編と後編。
本稿での主旨・気付きのヒントとは何か…

【社会生活全般において、知識なくても論理的思考力で解ける問題や課題が少なくない】

ということです。
　数学考査の設問という形ではありますが、仕事その他において直面する〔問題解決能力〕の鍛錬に大いにつながるのだと確信しています💪

　専門的な記号とかグラフとか出てこないシンプルなものですから、皆さんが抱きがちな「算数的」というよりも論理的発想でチャレンジできそうです👍

今一度、お示しします📖

1～20の整数から異なる10個の数を選んだところ、それらの積が45405360000になった。
その10個の数とは何でしょうか？

　高校一年生の数学のテストで出題されました。採点後、手元に〔正答〕はあるものの〔解説〕は無い状態。問いの本質を紐解き、思考動線や作戦について息子に示す、という2学期の出来事でした😅

　答えまで辿り着けた場合、この手のものは〔検算〕ができますので、ご自身が正解であることは現認されていることでしょう。
　肝心なのは、プロセス／思考スタンス／着眼点／論理　ですね👍「こうであるからこうだと言える！」という、国語的な理屈連鎖が散りばめられています。

前提ステップは、
【45405360000を素因数分解すること】です。
ただし、工夫作戦で臨まないと混迷しそうです(◎_◎;)

《前編》の内容の一部を引用します✍

”正統派”で2から探っていては工程が長くなるどころか自ら煩雑にしてしまいかねないので、以下のような作戦が思いつきます💡
①大胆な〔分割〕をしてみる
②ある程度大雑把にする
～〔素数〕に拘らずに、暗算に支障がない範囲で大きな数字で割り、”段数”（計算回数）を程よく減らす
③3の倍数・9の倍数の特徴

※桁数が大きいとはつまり1回の割り算の工程が長くなります（②）。なので、『試しにやってみた。でも割り切れなかったので次のを試した』は回避したいところです。闇雲感を排除したステップを組みましょう☝
そのことはつまり、『（例えば③のような）確信なく割ってみたら割り切れた』という”結果オーライ”な展開は良しとはされませんので、その点も合わせて意識しましょう！

　そして、「解けなかった人」が納得したり”気付き”を得たりするすようにと意識した文脈で説明しなければ意味がありませんね。
　つまり、ネット検索した場合に散見される「学力の優れた人」による説明展開というものは何かと”ジャンプ”していて、「自力では分からない」人には雑過ぎる、というのが典型例ではないでしょうか😵‍💫

◆以下、あくまで当方の”好み”による要件です◆

（１）素因数分解の工程

45405360000
ゼロが多いので、
4540536 x 10000 とし、まずは"4540536"を処理します

4540536 につき、4+5+4+0+5+3+6=27 : 9の倍数なので、4540536を9で割る
☞4540536 = 504504 x 9

504504 も同様
☞4540536 = 56056 x 9   x 9

56056はもう3じゃムリ～次は"7"の出番
浮き出てきた56=7x8なのでいけそう
☞4540536 = 8008 x 7    x 9 x 9　案の定"8"も浮き出た
☞4540536 = 1001 x 8   x 7 x 9 x 9

ここまできたら、一か八かで（2,3,5以外の次の最小候補の）"7"で割ってみてもいいだろう。もし割り切れなくても空振り感弱くすぐ判明するし
1001÷7=143
☞4540536 = 143 x 7   x 8 x 7 x 9 x 9
もう一桁は出尽くした感じだし、143って「素数に見えて素数じゃない系統」の小さめのもの！って雰囲気🤔143=11 x 13 ⚠
☞4540536 = 11 x 13   x 7 x 8 x 7 x 9 x 9
※いや、感性鋭ければ"1001"を見て、「あ、これ"11"の系統だ💡」となったりするので、7で割ってみるよりも先に11で割る人も居そう

あ、
そうそう、思い切って分けておいた10000 ⚠
10000 = 4 x 4 x 5 x 5 x 5 x 5

ここまでのを合わせると
45405360000
=4540536 x 10000
=11 x 13 x 7 x 8 x 7 x 9 x 9   x 4 x 4 x 5 x 5 x 5 x 5
=4x4x8 x9x9 x5x5x5x5 x7x7 x11 x13
=2x2x2x2x2x2x2 x3x3x3x3 x5x5x5x5 x7x7 x11 x13
=2^7 x 3^4 x 5^4 x 7^2 x 11 x 13
※"2^7" とは"2の7乗"の意味 

（２）素因数分解後の判断

設問では『1～20の整数』でした。
大きい数から目を向けて片付けていった方がよさそうです☝

因数のうち・・・
◆11,13 --- 10より大きな2つ
については、（他のものとひっつけて《2x11》のようにすると20を超えてしまうため、）単独で扱わないと題意に合いませんので、これらの数字は【答え】の例となります。

◆7 --- が2個
《7x7》は明らかにアウトですね。
《7x3》のペアを作ってみても、21なので不適です。
つまり、この7の使い方は、《7x1》《7x2》に限定されます。⇒7,14が【答え】として確定しました。

◆5 --- が4個
同じく《5x5》は25でアウトですね。
4つもあるので、《5x1》《5x2》《5x3》《5x4》という”散りばめ方”しかありません。⇒5,10,15,20が【答え】として追加されました。

◆残りの3と2
45405360000
=2x2x2x2x2x2x2 x3x3x3x3 x5x5x5x5 x7x7 x11 x13
のうち、これまで確定した答えの数字8つを構成するのにどれだけ使われたのか…　差し引かれて残ったものを手前の左寄りに集めて表記するとこうなります。
=2x2x2x3x3x3    x5x10x15x20 x7x14 x11x13

2^7 x 3^4 のうち、2を4つと3を1つが後方の”確定系”グループで”相方”として使われたため、
2^3 x 3^3 だけが残りました。
【答えの数字】が10個あるうちの、既に8つ分が確定済みなので、
2x2x2x3x3x3 を”仕訳けて”2個の数字（A,Bとする）を組み立てるのが最後のミッションです☝

・3x3x3=27 > 20 なので、片方に3^3を集約することは不可
つまり、A=2^〇 x 3^1, B=2^△ x 3^2 のような形になり、ABそれぞれに「3を含ませる」のが条件
それを意識しつつ、さらに
・2x2x2x3=24 >20 なので、〇△の部分の値として"3"は不適
さらに絞り込むべく、
・2x2x3x3=36 > 20 なので、Bの方の△に"2"は不適⇒△=1,〇=2
A=2^2 x 3^1, B=2^1 x 3^2　に限定される
A=12, B=18

以上を並べると、
5,7,10,11,12,13,14,15,18,20
という10個の数字が、求める答えとなります💯

　繰り返しになりますが、道筋や論理展開は様々あり得るでしょう。
　ただ、〔解説〕例の中で「それって、強引な仮説で押し切ってたまたま上手くいっただけで、論理は通ってないのでは？」というものがあると、〔結果〕のみならず思考プロセスが重要なのだなぁ…と、類似性を感じる【仕事や社会生活における事例】が散見されるので、”気付き”題材の一例としてお示ししました📖

† チャレンジ下さった方、長かったにも関わらず記事に目を向けて下さった方、ありがとうございました🙇

#デザイン思考 #本質 #合理化 #業務改善 #デザイン #コラム #毎日note #工夫 #生活 #算数 #オリンピック #算数がすき #数学がすき #倍数 #約数 #素因数分解