「入門はじめての多変量解析」をPythonで写経 Vol.10 ～ ３章「はじめての主成分分析」②情報損失量の最小化
３章「はじめての主成分分析」
書籍の著者 石村貞夫 先生、石村光資郎 先生
書籍「入門はじめての多変量解析」３章「はじめての主成分分析」の Python写経活動記録 です。
多変量解析の入門を Python と一緒に学ぶ写経シリーズです。
この記事は、情報損失量の最小化に基づく主成分分析 に取り組みます。
情報損失量の最小化の観点で、主成分の係数 を計算します。
ChatGPT 活用型学習で進めてまいります！
では書籍を開いて多変量解析の旅に出かけましょう🚀
はじめに
このブログシリーズは、書籍「入門はじめての多変量解析」（東京図書、「テキスト」と呼びます）の Python 写経を通じて得た「多変量解析の楽しさ」をご紹介します。
書籍の紹介と引用表記はリンク先の記事に掲載しています。
３章 はじめての主成分分析
この記事は３章の以下のSectionを取り扱います。
3.1 主成分分析は総合化です！
3.2 主成分とは？！
3.3 主成分分析の求め方 (1) －情報損失量の最小化
記事に用いるデータは、テキストに掲載されたデータそのものを引用しています。
データ件数の少ないものはコード上でデータを登録し、データ件数の多いものはCSVファイル化してデータを読み込みしています。
この記事で用いるライブラリをインポートします。
### インポート
# 数値計算
import string # 大文字アルファベットを取得
import numpy as np
import pandas as pd
import sympy
# PCA
from sklearn.decomposition import PCA
# LaTeX表示
from IPython.display import Math
# 描画
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo' # または import japanize_matplotlib
はじめに
この記事で取り扱う「情報損失量の最小化」に基づく主成分分析は、（個人的感触ですが）メジャーな方法では無いようです。
たとえば、Python の scikit-learn や statsmodels などのライブラリは「分散最大化」に基づいています。
「情報損失量の最小化」と「分散最大化」の結果が一致する部分はありますが、結果が異なる部分もありますし、結果を導くプロセスが異なる面もあります。
したがいまして、「情報損失量の最小化は主成分分析の手法のひとつ」と、緩めに捉えておくのがよさそうです。
一方で、テキストは情報損失量の最小化に至る過程で、いろんなアイデアを教えてくれます。
・「ヘッセの標準形」で三角形の辺を求める
・「ラグランジュの乗数」が固有値 $${\lambda}$$ につながる
こういった「プロセス」を含めて、楽しんでいきましょう！
主成分分析と主成分
テキストの数式をお借りして主成分分析の概要を確認します。
主成分分析とは、多くの変数 $${x_1, x_2, \cdots, x_p}$$ をできるだけ情報の損失なしに、１個または互いに独立な少数個の総合指標 $${z_1, z_2, \cdots, z_m}$$
$$
\begin{cases}
\begin{align*}
z_1 &= a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1p} x_p \\
z_2 &= a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2p} x_p \\
&\vdots \quad \quad \quad \quad \vdots\\
z_m &= a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mp} x_p \\
\end{align*}
\end{cases}
$$
を使って表現する手法で、 $${z_1, z_2, \cdots, z_m}$$ をそれぞれ第 $${1}$$ 主成分、第 $${2}$$ 主成分、$${\cdots}$$、第 $${m}$$ 主成分と呼びます。
第 $${i}$$ 主成分 $${z_i}$$ は係数 $${a_{ij}}$$ を重みとする一次結合の形式です。
係数 $${a_{ij}}$$ がある行列の固有ベクトル、ということは後ほど。
分析データの概要
■ データの登録
テキスト p.87 表 3.1.1「介護施設と医療施設（その１）」のデータをお借りします。
### 介護・医療施設データ p.87 表3.1.1
# データの登録
N = 10
data1 = pd.DataFrame(
{'地域名': list(string.ascii_uppercase[:N]),
'介護施設': [22, 22, 18, 18, 15, 19, 19, 24, 21, 25],
'医療施設': [12, 8, 6, 15, 7, 9, 7, 17, 14, 11]},
index=range(1, N+1))
data1.index.name = 'No.'
data1【実行結果】
10 の地域における 65 歳以上人口 1 万人あたりの介護施設数、人口 1 万人あたりの医療施設数です。
単位が異なるので表の値で単純に比べられません。
介護施設を変数 $${x_1}$$、医療施設を変数 $${x_2}$$ とし、主成分
$$
z_1 = a_1 x_1 + a_2 x_2
$$
の係数 $${a_1, a_2}$$ を検討することになります。
■ 設定と準備
その他の準備をまとめて実施します。
変数だけを取り出したデータフレーム X を作成します。
# 変数Xの設定
X = data1[['介護施設', '医療施設']]
X.head()【実行結果】
後ほどの可視化で主成分分析の結果を利用しますので、scikit-learn の PCA で「こっそり主成分分析を実施」（略して、こっそり数値）しておきます。
こちらは分散最大化に基づく主成分分析です。
### sklearnのPCAで主成分分析
# PCAのインスタンスの生成
pca1 = PCA(n_components=2)
# PCAを実行して主成分得点を取得 shape=(標本サイズ, 主成分数)
score1 = pca1.fit_transform(X)
# 固有ベクトルの取得
eig_vec1 = pca1.components_【実行結果】なし
■ データの可視化
データを散布図で可視化しましょう。
テキスト p.88 図 3.2.1「統計処理の第一歩はグラフ表現です！」に相当します。
### p.88 散布図の描画 図3.2.1
plt.figure(figsize=(6, 6))
sns.scatterplot(data=X, x='介護施設', y='医療施設', s=70)
for s, x, y in data1.values:
plt.text(x=x+0.1, y=y+0.1, s=s)
plt.gca().axes.set(aspect='equal');【実行結果】
右上がりの傾向が見られます。
主成分 $${z_1}$$ はこのグラフに一本の軸（線）を入れることでもあります。
テキスト p.89 図 3.2.2 に相当する「軸」を引いてみましょう。
### p.89 散布図の描画 図3.2.2 ★テキストの軸z1と異なる。理由は不明
## 設定と準備
# x,yの平均値の算出：原点(20.3, 10.6) p.103
X_mean = X.mean().values
# xの最小値、最大値の設定
x_min, x_max = 15, 26
## 主成分z1の直線の算出
# 傾きの算出
slope_z1 = eig_vec1[0, 1] / eig_vec1[0, 0]
# 切片の算出 ※z1はx1,x2の平均を通る
intercept_z1 = X_mean[1] - slope_z1 * X_mean[0]
# z1のx軸:x1,y軸:x2の値
x1_z1_lines = np.linspace(x_min, x_max, 2)
x2_z1_lines = slope_z1 * x1_z1_lines + intercept_z1
## 描画
# 描画領域の設定
plt.figure(figsize=(6, 6))
# 実測値の散布図の描画
sns.scatterplot(data=X, x='介護施設', y='医療施設', s=70, label='実測値')
# 実測値の都市名テキストの表示
for s, x, y in data1.values:
plt.text(x=x+0.1, y=y+0.1, s=s)
# 原点の描画
plt.plot(*X_mean, 'o', ms=7, color='tab:red', label='平均')
# 第1主成分z1の直線の描画
plt.plot(x1_z1_lines, x2_z1_lines, color='tab:red', label='主成分$z_1$')
# 修飾
plt.xlim(14, 27)
plt.ylim(4, 19)
plt.gca().axes.set(aspect='equal')
plt.legend();【実行結果】
赤い直線が主成分 $${z_1}$$ の軸です。
引き方はこれから検討しましょう！
（ここでは、こっそり数値を使いました）
「情報損失量の最小化」で主成分分析
■ 情報損失量の概要
テキストの Section 3.3 では「情報損失量の最小化」によって主成分 $${z_1}$$ の軸を算出します。
テキストの文章をお借りしますと：
垂線の長さが最小になる方向比 $${a_1:a_2}$$ を見つける
を目指します。
垂線をイメージする目的で可視化しましょう。
テキスト p.93 図 3.3.4「情報損失量」に相当します。
### p.92 散布図の描画 図3.3.2 垂線を下ろすと... ★テキストの軸z1と異なる。理由は不明
## 設定と準備
# x,yの平均値の算出：原点(20.3, 10.6) p.103
X_mean = X.mean().values
# xの最小値、最大値の設定
x_min, x_max = 15, 26
## z1の直線の算出
# 傾きの算出
slope_z1 = eig_vec1[0, 1] / eig_vec1[0, 0]
# 切片の算出 ※z1,z2はx1,x2の平均を通る
intercept_z1 = X_mean[1] - slope_z1 * X_mean[0]
# z1のx軸:x1, y軸:x2の値
x1_z1_lines = np.linspace(x_min, x_max, 2)
x2_z1_lines = slope_z1 * x1_z1_lines + intercept_z1
## z1への直交射影点の算出
# 平坦な配列を列ベクトルに変換する関数の定義
vec = lambda x: x.reshape(-1, 1)
# 第１主成分の固有ベクトルの取得
b1 = vec(pca1.components_[0])
# 射影行列の算出
P1 = vec(b1) @ np.linalg.inv(vec(b1).T @ vec(b1)) @ vec(b1).T
# データXを第１主成分z1へ直交射影
proj1 = vec(X_mean) + P1 @ (X.T - vec(X_mean))
## 描画
# 描画領域の設定
plt.figure(figsize=(6, 6))
# 実測値の散布図の描画
sns.scatterplot(data=X, x='介護施設', y='医療施設', s=70, label='実測値')
# 実測値の都市名テキストの表示
for s, x, y in data1.values:
plt.text(x=x+0.1, y=y+0.1, s=s)
# 原点の描画
plt.plot(*X_mean, 'o', ms=7, color='tab:red', label='平均')
# 第１主成分z1の直線の描画
plt.plot(x1_z1_lines, x2_z1_lines, color='tab:red', label='主成分$z_1$')
# 第１主成分z1に向かう垂直線の描画
for (x11, x21), (x12, x22) in zip(X.values, proj1.T.values):
plt.plot([x11, x12], [x21, x22], color='gray', ls='--', zorder=0)
# 修飾
plt.xlim(14, 27)
plt.ylim(4, 19)
plt.gca().axes.set(aspect='equal')
plt.legend();【実行結果】
各データ点から主成分 $${z_1}$$ へ垂直に引いたグレイの点線が「垂線」です。
それぞれの垂線の長さが各データ点の「情報損失量」であり、垂線の長さのトータルを最小化することが「情報損失量の最小化」の目的になります。
※分散最大化による主成分分析と異なる点です。
テキストは主成分 $${z_1}$$ の直線に対する垂線の長さを ヘッセの標準形 を利用して求めます。
テキストの数式をお借りします。
📊 ヘッセの標準形の公式
$${xy}$$ 平面上の点 $${(p,q)}$$ から、直線 $${l : ax+by+c=0}$$ へ下ろした垂線の長さは
$$
\cfrac{|\ ap + bq + c\ |}{\sqrt{a^2 + b^2}}
$$
で与えられます。
■ ヘッセの標準形を用いた情報損失量の計算例
主成分 $${z_1}$$ の直線と垂線の図の裏にある「こっそり数値」を利用して、ヘッセの標準形で垂線の長さ＝情報損失量を計算してみましょう。
### 情報損失量の算出 ※ヘッセの標準形
# 直線 l: ax+by+c=0 のa,b,cの算出
a, b = eig_vec1[0] # 固有ベクトル
c = -20.3 * b + 10.6 * a # p.98 (4)
# 点(p,q)の情報損失量の算出 p.94 ※ヘッセの標準形を適用
info_loss_value1 = (
np.abs(b * X['介護施設'].values - a * X['医療施設'].values + c)
/ np.sqrt(b**2 + (-a)**2)
)
# データフレーム形式で表示
pd.DataFrame(
info_loss_value1, index=data1['地域名'], columns=['情報損失量']
).T.round(4)【実行結果】
上記計算結果の検証を兼ねて、「データ点のベクトル」と「直線と垂線の交点のベクトル」の差から垂線の長さを計算してみます。
ベクトルの差のノルムを numpy.linalg の norm() で求めています。
### 情報損失量の算出 ※データ点と直交射影点の差のノルム
# 点(p,q)の情報損失量の算出
info_loss_value2 = np.linalg.norm(X.T.values - proj1.values, axis=0)
# データフレーム形式で表示
pd.DataFrame(
info_loss_value2, index=data1['地域名'], columns=['情報損失量']
).T.round(4)【実行結果】
ヘッセの標準形の計算結果と一致しました（ホッ）
■ 係数 $${a_1, a_2}$$ を求める
第１主成分 $${z_1}$$ の係数 $${a_1, a_2}$$ を求めつつ、同時に第２主成分 $${z_2}$$ の係数を算出します。
最初に情報損失量を再整理します。
主成分 $${z_1}$$ の直線 $${l}$$ の傾きは $${a_2 / a_1}$$ であり、直線 $${l}$$ は次の数式で表せます。
$$
x_2 = \cfrac{a_2}{a_1} x_1 + b \\
$$
この式の両辺に $${a_1}$$ を掛けて変形します。
$$
\begin{align*}
&a_1 x_2 = a_2 x_1 + \underbrace{a_1 b}_{a_0} \\
&a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0 = 0 \\
\end{align*}
$$
２行目の式と条件 $${a_1^2 + a_2^2 = 1}$$ をヘッセの標準形に当てはめて、情報損失量を求めます。
$$
\begin{align*}
&\cfrac{|\ a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0\ |}{\sqrt{a_2^2 + (-a_1)^2}} \\
\\
&=\cfrac{|\ a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0\ |}{\sqrt{\underbrace{a_2^2 + a_1^2}_{1}}} \\
&=|\ a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0\ | \\
\end{align*}
$$
情報損失量は $${|\ a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0\ | }$$ になりました。
◆
テキストは次の手順で情報損失量を最小化する係数 $${a_1, a_2}$$ を求めます。
条件 $${a_1^2 + a_2^2 = 1}$$ （束縛条件 $${g}$$）のもとで
情報損失量を $${|\ a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0\ |}$$ とし、情報損失量の二乗和 $${U=\sum_{i=1}^N (a_2 x_{i1} - a_1 x_{i1} + a_0)^2}$$ に
ラグランジュの乗数 $${\lambda}$$ を導入して関数 $${F}$$ を構成。
関数 $${F}$$ を係数 $${a_0, a_1, a_2}$$ で偏微分して０とおき、
連立方程式（行列を利用）を解き、係数 $${a_1, a_2}$$ を得ます。
この記事は sympy ライブラリを利用して、上記手順に沿って 係数 $${a_1, a_2}$$ を求めようと思います！
◆
0️⃣ 準備
sympy の数式内で用いる変数を定義します。
### 主成分の求め方（１） p.91～
# 変数の定義
a0, a1, a2, λ = sympy.symbols('a0 a1 a2 λ')
display(Math(f'変数: {sympy.latex([a0, a1, a2, λ])}'))【実行結果】
係数とラグランジュの乗数を定義しました。
◆
1️⃣ 束縛条件 $${g}$$ の定義
変数 g に条件式を設定します。
## ラグランジュの未定乗数法の束縛条件g p.96 条件
# 束縛条件gの設定
g = a1**2 + a2**2 - 1
# 結果の表示
print('【条件】')
display(Math(f'{sympy.latex(g)} = 0'))【実行結果】
$${g}$$ には以下の数式の左辺を設定しています。
◆
2️⃣ 情報損失量の二乗和 $${U}$$ の設定
情報損失量の二乗和 U を計算します。
$${(a_2 x_1 - a_1 x_2 + a_0)^2}$$ の $${x_1,x_2}$$ に実際の値を当てはめて合計 sum します。
テキスト p.96 後段の数式と同じ内容になります。
## 情報損失量の二乗和Uの算出: ヘッセの標準形の利用 p.96のU(a2, a1, a0)
# 情報損失量の二乗和Uの算出
U = sum([(a2*x1 - a1*x2 + a0)**2 for x1, x2 in X.values])
# 結果の表示
print('【情報損失量の二乗和】')
display(Math(f'U(a_2, a_1, a_0) = {sympy.latex(U.expand())}'))【実行結果】
◆
3️⃣ ラグランジュの未定乗数法の関数 $${F}$$ の定義
ラグランジュの乗数を $${\lambda}$$ として定義する関数 $${F}$$ です。
$${F = U - \lambda g}$$ としています。
テキスト p.98 上部の数式と同じ内容になります。
## ラグランジュの未定定数法の関数F
# 関数Fの設定
F = U - λ * g
# 結果の表示
print('【ラグランジュの未定乗数法の関数F】')
display(Math(f'F(a_2,a_1,a_0,λ) = {sympy.latex(F.expand())}'))【実行結果】
◆
4️⃣ 関数 $${F}$$ を偏微分して０とおく
sympy の diff() で微分・偏微分を計算します。
引数は ( 偏微分する関数, 偏微分する変数) です。
テキスト p.98 の式 (1) ～ (3) と同じ内容になります。
## 関数Fをa1,a2,a3で偏微分
# 情報損失量をa0,a1,a2で偏微分 p.98
expr_a2 = sympy.diff(F, a2) # (1)
expr_a1 = sympy.diff(F, a1) # (2)
expr_a0 = sympy.diff(F, a0) # (3)
# 結果の表示
print('【情報損失量を偏微分】')
partf = '\cfrac{{\partial{{F}}}}'
display(Math(partf + f'{{\partial{{a_2}}}} = {sympy.latex(expr_a2)} = 0'))
display(Math(partf + f'{{\partial{{a_1}}}} = {sympy.latex(expr_a1)} = 0'))
display(Math(partf + f'{{\partial{{a_0}}}} = {sympy.latex(expr_a0)} = 0'))【実行結果】
◆
5️⃣ 連立方程式を解く
テキスト p.98 ～ 99 にかけての係数 $${a_1, a_2}$$ 求解プロセスに相当します。
テキストは連立方程式を変形して $${\bm{Ax} = \bm{\lambda x}}$$ をつくり、特性方程式で求解しています。
この記事は連立方程式ソルバーを信じて解きます。
sympy の solve() で連立方程式の解を求めることができます。
角かっこ [ ] で示すリストの中に方程式を書きます。
## 偏微分＝０とおいて連立方程式を求解
# ３つの偏微分と束縛条件の連立方程式を解く
sol = sympy.solve([expr_a0, expr_a1, expr_a2, g])
# 結果の表示
print('【連立方程式の解】')
for i in range(4):
lam, a_0, a_1, a_2 = float(sol[i][λ]), float(sol[i][a0]), \
float(sol[i][a1]), float(sol[i][a2])
display(Math(f'λ: {lam},\ a_0: {a_0},\ a_1: {a_1},\ a_2: {a_2}'))【実行結果】
解が４つできてしまいました（２個でいいのに）。。。
んー、どーしましょー。。。
情報損失量最小化の場合、$${\lambda}$$ の最小値を第１主成分にすることと、第１主成分の係数は正の方が見やすいことをふまえて、第１主成分には「解の２番目（インデックス１）」を採用します！
## λ, a1, a2の解１
i = 1
sol1 = float(sol[i][λ]), float(sol[i][a1]), float(sol[i][a2])
print('【解１】')
display(Math(f'λ={sol1[0]},\ a_1={sol1[1]},\ a_2={sol1[2]}'))【実行結果】
第２主成分は…甲乙つけがたく、「解の４番目（インデックス３）」を採用します！
## λ, a1, a2の解２
i = 3
sol2 = float(sol[i][λ]), float(sol[i][a1]), float(sol[i][a2])
print('【解２】')
display(Math(f'解2: λ={sol2[0]},\ a_1={sol2[1]},\ a_2={sol2[2]}'))【実行結果】
◆
この選択の結果、第１主成分 $${z_1}$$、第２主成分 $${z_2}$$ を次の式で表せることが分かりました！
$$
\begin{align*}
z_1 &= 0.5452 x_1 + 0.8383 x_2 \\
z_2 &= 0.8383 x_1 - 0.5452 x_2 \\
\end{align*}
$$
記事のゴールに到達できました。
お疲れ様でした！
ちなみに、この主成分の係数は「分散最大化」と一致しています。
テキストによると「$${\lambda}$$ ＝固有値、係数$${a_1, a_2}$$ ＝固有ベクトル」です。
固有値と固有ベクトルを表にまとめます。
## 固有値・固有ベクトルの表示
# 固有値・固有ベクトルの設定
eig_vals1 = np.array([sol1[0], sol2[0]])
eig_vecs1 = np.array([[sol1[1], sol2[1]], [sol1[2], sol2[2]]])
# データフレーム化
print('【固有値】')
display(pd.DataFrame([eig_vals1], columns=['PC1', 'PC2']))
print('【固有ベクトル】')
display(pd.DataFrame(eig_vecs1, columns=['PC1', 'PC2']))【実行結果】
◆
テキスト p.99 に「$${\lambda}$$ と $${ a_1, a_2}$$ は以下の行列の固有値と固有ベクトルだ」と紹介されています。
$$
\begin{bmatrix*}[r]
84.1 & -52.2 \\ -52.2 & 130.4
\end{bmatrix*}
$$
この行列の固有値と固有ベクトルを算出しましょう。
# データの偏差平方和積和行列の固有値・固有ベクトル
# p.99の行列の作成 ※データの偏差平方和積和行列に非対角成分の符号を逆転
the_matrix = (X - X_mean).T @ (X - X_mean) * np.array([[1, -1], [-1, 1]])
# 上記行列の固有値・固有ベクトルの算出
eig_vals2, eig_vecs2 = np.linalg.eig(the_matrix)
# 固有ベクトルの変更 ※注意：行の入れ替えと符号の逆転でテキストの計算結果に合わせる
eig_vecs2 = eig_vecs2[::-1] * -1
# 結果表示
print('【行列】')
display(pd.DataFrame(the_matrix.values))
print('【固有値】')
display(pd.DataFrame([eig_vals2], columns=['PC1', 'PC2']))
print('【固有ベクトル】')
display(pd.DataFrame(eig_vecs2, columns=['PC1', 'PC2']))【実行結果】
sympyで求めた $${\lambda, a_1, a_2}$$ 、すなわち、固有値・固有ベクトルと同じ値になりました！
記事の最後はChatGPTが締めくくります。
今回は帰路につく頃に。
📘 ChatGPTのひとこと：
今回は「情報損失量を最小にする」視点で主成分分析の道筋をたどり、係数という“羅針盤”を手に入れました。
まるで静かな夕暮れに、道標を確かめながら小道を歩くように、一歩ずつ安心して進めたのではないでしょうか😊
次回は、その羅針盤を頼りに、主成分がどれだけデータの風景を語ってくれるのか――寄与率や累積寄与率で景色の広がりを味わい、得点でその地形を描き出す旅路に出発します。
また風に吹かれながら、一緒に静かな探求の時間を重ねていきましょう✨
今回の写経は以上です。
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楽しくPyMCモデルを動かして、ベイズと仲良しになれた気がします。
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