液晶の乱流と、光でできた流体と、量子コンピュータの中の磁石が、同じ「3分の1」に従う——KPZ普遍性クラスとトレイシー＝ウィドム分布は、どこまで本当に確かめられたのか

前回は、AIエージェントに仕事を任せる仕組みの話を書きました。実行より先に記録を残す、という順番をひとつ変えるだけで、責任の所在の作り方が変わってしまう、という設計の話です。あれはあれで面白い話でしたが、今回はまったく別の場所に行きます。

紙の端に火をつけると、焦げ跡の縁がギザギザに進んでいきます。寒天の上で細菌が広がると、コロニーの縁もギザギザになります。塗料が布に染み込むときの境目も、ギザギザです。

素材はまるで違う。燃焼と、細胞分裂と、毛細管現象。関わっている物理も化学もまるで違います。それでも、その「ギザギザ具合が時間とともにどう育つか」を数字にすると、同じ数が出てくることがある。

この、素材の詳細に依らずに同じ数が現れることを、物理では普遍性（universality）と呼びます。そして、これを扱うときにいちばん大事なのは、「同じに見える」と「同じであることが確かめられた」を、絶対に混ぜないことです。この記事は、その線引きの話をします。

ギザギザの育ち方に「型」がある、という主張

1986年、メフラン・カルダー、ジョルジオ・パリージ、ヤーチェン・ジャンの3人が、成長する界面（かいめん＝ものの境目のこと）を表す短い方程式を書きました（Physical Review Letters 56巻889ページ）。3人の頭文字を取って、KPZ方程式と呼ばれています。

中身は3つの項でできています。ひとつめは「出っ張ったところは削られ、へこんだところは埋められる」というならし効果。ふたつめは「界面は自分の面に対して垂直な向きに伸びる」という、ごく当たり前の幾何学的な事実から出てくる非線形の項。みっつめは「毎瞬ランダムに揺すられる」という雑音です。

このみっつめまではよくある話です。決定的なのはふたつめでした。「面に垂直に伸びる」という一見どうでもいい性質を入れるか入れないかで、答えの形が丸ごと変わってしまう。

入れない場合はエドワーズ＝ウィルキンソン（EW）方程式になり、1次元では、ギザギザの大きさ（界面の高さの揺らぎ）は時間の4分の1乗で育ちます。入れるとKPZになり、3分の1乗で育つ。同時に、ギザギザが横方向にどこまで相関するかの幅は、時間の3分の2乗で広がります。時間を8倍にすれば、縦のガタつきは2倍、横の相関距離は4倍になる、ということです。

　　定規で測った1本の線が、時間とともにどれくらい波打つか。その波打ち方の「育ちの速さ」だけが、素材ではなく方程式の形で決まってしまう。木の板でも金属板でも、削り方の癖が同じなら削れた縁の粗さは同じになる、というような話です。

1次元でのこの1/2、1/3、3/2という組は、単なる数値実験の当てはめではありません。定常状態がランダムウォークになることと、KPZ方程式が持つある種の対称性（ガリレイ不変性）から、指数のあいだの関係が導かれます。ここは、確かに理屈で押さえられている部分です。

数学が確かめたこと——トランプの並べ替えから始まった

しかし、指数が合うだけでは足りません。普遍性クラスというのは、指数の組だけでなく、揺らぎがどんな分布の形をしているか、そして時間や空間の相関がどうつながっているかまで含めて初めて定義されるものです。ここが今日いちばん大事なところなので、覚えておいてください。

分布の形が特定されたのは1999年でした。ジニョ・バイク、パーシー・デイフト、クルト・ヨハンソンが、まったく別の問題を解いていました。トランプをでたらめに並べたとき、そこから抜き出せる「小さい順に並んでいる最長の列」はどれくらいの長さになるか。カード枚数をnとすると、長さはだいたい2√nになる。では、その2√nからのズレはどう散らばるのか。

答えは、トレイシー＝ウィドム分布でした（Journal of the AMS 12巻1119ページ）。これは1994年にクレイグ・トレイシーとハロルド・ウィドムが、大きなランダム行列のいちばん大きい固有値がどこに来るかを調べて見つけた分布です。

　　以前、投資の話の流れで、共分散行列の固有値がどれだけ雑音に汚されるかという記事を書いたことがあります。あのとき「いちばん端の固有値がどこまで飛び出すか」の分布として出てきたものが、そのままトランプの並べ替えに、そして界面の成長に出てくる。これは比喩ではなく、同じ分布関数です。

翌2000年、ヨハンソンが同じ分布を、四角い格子を隅から埋めていく成長模型（コーナー成長模型）でも証明しました。トランプと、界面の成長と、ランダム行列。三つが同じ分布でつながった。

その後の流れを、要点だけ並べます。

2010年、笹本智弘とヘルベルト・シュポーンが、そして同時期にジェレミー・クアステルらが、KPZ方程式そのものの高さ分布の厳密な式を得ました。方程式の「解の分布」が閉じた形で書けた、という意味です。

2013年から2014年、マルティン・ハイラーが正則性構造の理論を作りました。KPZ方程式には、そもそも「解とは何か」が定義できないという深刻な問題がありました。雑音が荒すぎて、方程式に出てくる二乗の項が数学的に意味を持たない。ハイラーはその意味付けの枠組みごと作り、2014年にフィールズ賞を受けています（Annals of Mathematics 178巻559ページ、Inventiones Mathematicae 198巻269ページ）。

ここは誤解されやすいので、はっきり書いておきます。方程式を解けるようにしたことと、普遍性を証明したことは別です。 ハイラーの仕事は前者であって、後者ではありません。

後者に近づいたのが2021年です。コンスタンチン・マテツキ、クアステル、ダニエル・レメニクが「KPZ固定点」を構成しました（Acta Mathematica 227巻115ページ）。これは、KPZクラスに属するあらゆる模型が、時間と空間を適切に縮めていったときに最後に行き着く共通の極限そのものです。繰り込み群でいう固定点を、確率過程として実際に作ってみせた、ということになります。翌2022年にはダンカン・ドヴェルニュ、ジャナニ・オルトマン、ヴィラーグ・バーリントが「有向ランドスケープ」を構成し、2023年にはクアステルとソウリク・サルカーが、排他過程（粒子が押し合いながら一方向に動く模型）とKPZ方程式そのものがKPZ固定点に収束することを証明しました（Journal of the AMS 36巻251ページ）。2024年12月には、アモル・アガーワル、イヴァン・コーウィン、ミリンド・ヘグデが、より広い初期条件と六頂点模型まで広げた結果を出しています（arXiv:2412.18117、査読前）。

つまり、数学の側では、厳密に解ける構造を持つ模型については、指数も分布も相関も、確かに証明されている。ここは本物です。

そして、ここが正直に書くべきところです。厳密に解ける構造を持たない模型については、いまも証明されていません。 たとえば弾道堆積模型やエデン模型といった、教科書の最初のほうに出てくるような単純な成長模型ですら、KPZクラスに属することは証明できていない。数値計算がそう言っているだけです。イヴァン・コーウィンは解説でこれを「普遍性そのものの証明が、依然として主要な未解決問題である」と書いています。

実験が確かめたこと——液晶の乱流

実験の側はどうか。

ここも簡単な道ではありませんでした。1980年代から1990年代にかけて、紙を燃やす、細菌を育てる、コロイドを積む、といった実験がいくつも行われましたが、KPZの指数がきれいに出た例はほとんどありませんでした。長いあいだ、KPZは「理論としては美しいが実験では見えないもの」でした。

決着をつけたのは、竹内一将と佐野雅己による2010年の実験です（Physical Review Letters 104巻230601ページ）。液晶に電圧をかけると乱流状態になり、その中に別の乱流状態の領域が生まれて広がっていく。その領域の境目が、KPZの界面として振る舞います。

彼らが測ったのは指数だけではありませんでした。同じ実験を何度も繰り返して、界面の高さの揺らぎの分布の形そのものを測った。そして、円形に広がる界面ではトレイシー＝ウィドムのGUE型（歪度およそ0.22、尖度およそ0.09）、平らに進む界面ではGOE型（歪度およそ0.29、尖度およそ0.17）に一致した。翌2011年にはシュポーン、笹本を加えた4人でこれを詰め（Scientific Reports 1巻34ページ）、さらに定常状態ではバイク＝レインズ分布になることまで確かめています。

この結果には、この記事の主題そのものが含まれています。円形と平らとで、指数はまったく同じなのに、分布は違う。 つまりKPZクラスの内部が、初期条件の形によっていくつかの下位クラスに分かれている。指数が一致したことは、同じクラスであることの証明にはならない、という最初の警告がここにあります。

2022年には、フランスのグループがポラリトン（光と物質が混ざった準粒子でできた流体）の1次元凝縮体で、位相の揺らぎがKPZに従うことを示しました（Nature 608巻687ページ）。

2026年4月、2次元でようやく

そして今年です。

2026年4月、Science誌に「Observation of Kardar-Parisi-Zhang universal scaling in two dimensions」が掲載されました（doi: 10.1126/science.aeb4154、査読前版はarXiv:2506.15521）。ヴュルツブルク大学のジーモン・ヴィトマン、シッダールタ・ダムらと、ケルン大学の理論グループによるものです。

ガリウムヒ素の半導体を絶対零度近くまで冷やし、レーザーで励起してポラリトンの凝縮体を作る。それを格子状に並べて、2次元に広がる系の位相の揺らぎを、分光と干渉で時間と空間の両方について追った。

測られた指数は、正方格子で粗さの指数0.417±0.034、成長の指数0.246±0.028。三角格子で0.392±0.032と0.239±0.029。2次元KPZについて数値計算から予想されていた値は、およそ0.39と0.24です。

なぜこれが40年かかったのか。1次元のKPZには厳密解があります。2次元には、ありません。指数の値は数値シミュレーションから推定されているだけで、「なぜその値なのか」を導く理論は存在しない。そして実験の側では、2次元の界面を、指数がきれいに出るだけの時間と広さにわたって追いかけることが、単純に難しかった。

論文自身が限界も書いています。励起の強さを上げていくと、KPZの予測から外れるデータ点が増える。KPZ的に振る舞う窓は、どこまでも広いわけではない。

ここからが本題——崩れた側

さて、ここまでは「合った」話でした。この枠でいちばん書きたいのは、その逆です。

細菌のコロニー。 KPZの教科書的な実例として何十年も引用されてきた系です。ところが2018年、マドリードのグループが、運動性を抑えた枯草菌と大腸菌のコロニーを丁寧に測り直し、界面の揺らぎがKPZの予測から外れることを報告しました（Physical Review E 98巻012407ページ）。彼らの結論は、これらのコロニーが栄養の拡散に律速された過渡的な状態にずっと留まっていて、実験で届く時間の範囲ではKPZの漸近的な振る舞いに到達しない、というものでした。縁が枝分かれしていく現象が時間とともに強まっていく。KPZに行き着く前に、別のものになってしまう。

「教科書に載っているから正しい」は、ここでは通用しません。

そして、もっと鋭い例があります。スピン鎖です。

磁石の中で、電子のスピンが一列に並んで隣同士だけ相互作用している系（ハイゼンベルク模型）を考えます。この系で、磁化がどう広がっていくかを調べると、通常の拡散（時間の1/2乗）より速い、時間の2/3乗で広がることが2010年代後半に分かってきました。この超拡散の指数は、KPZの値そのものです。

2021年、オークリッジ国立研究所のアラン・シャイらが、KCuF₃という実在の結晶に中性子を当てて、この振る舞いを実測しました（Nature Physics 17巻726ページ）。2022年にはミュンヘンのグループが、冷却原子を1個ずつ見る量子ガス顕微鏡で同じものを見た（Science 376巻716ページ）。

そして2024年、Google Quantum AIが46個の超伝導量子ビットを一列に並べ、鎖の真ん中を横切る磁化の分布そのものを測りました（Science 384巻48ページ）。ここで何が起きたか。

平均と分散は、KPZの予想通り時間の2/3乗で振る舞った。ところが、それより高い次数の統計量が、KPZの予測と合わなかった。 歪度も尖度も違う。

2025年、竹内一将、ヤコポ・デ・ナルディス、オフェル・ブサーニ、パトリック・フェラーリ、ロマン・ヴァスールの5人が、この状況を整理した論文を出しています（Physical Review Letters 134巻097104ページ、arXiv:2406.07150）。タイトルが率直で、「等方的スピン鎖におけるKPZクラスの、部分的ではあるが確実な出現」。

彼らが示したのは、2点相関——相関長が時間の2/3乗で伸びること、スピン相関がプレホーファー＝シュポーンの厳密な関数に一致すること、時間相関がフェラーリ＝シュポーンの予測に合うこと——これらはすべてKPZと一致する。ところが磁化の輸送の完全計数統計（分布の全体の形）を見ると、歪度がゼロのままで、KPZが要求する非対称性が出てこない。高次のキュムラント比も明確にずれる。

つまり、この系はKPZの相関構造は持っているが、KPZの分布は持っていない。指数だけを見ていたら、10年間ずっと「KPZだ」と言い続けることになっていたところです。

　　同じ体重、同じ身長の2人がいたとして、同じ人だとは言えない。当たり前のことですが、log-logのグラフに引いた直線の傾きが一致した、というのは、体重が同じだった、という程度の証拠でしかありません。

まだ誰も知らないこと

正直に並べておきます。

2次元のKPZには厳密解がありません。指数の値は数値計算からの推定で、実験がそれと合った、という段階です。理論的に導かれた値と実験が合った、のではない。

上部臨界次元——次元を上げていったときにKPZの非線形性が効かなくなる次元があるのかどうか——は、いまも決着していません。モード結合理論などは4次元だと予測しましたが、数値計算はそれを支持していません。2026年にも、完全連結グラフ上での議論から検討する査読前論文が出ています（arXiv:2603.02000）。

厳密に解ける構造を持たない成長模型については、1次元ですら証明がありません。証明されているのは、あくまで特別な可積分構造を持つ模型と、そこから比較で押さえられる範囲です。

そして、ある実在の系がKPZクラスに属するかどうかを、実験の有限の時間と有限の広さから判定する一般的な手続きは、まだありません。細菌コロニーの例は、その難しさそのものです。

これは何を意味するのか

まず、うまくいっているときに何が手に入るのか。

普遍性が本当に効いている系では、素材の詳細を知らなくても、揺らぎの分布の形まで予測できます。平均だけではなく、「めったに起きない大きなズレがどれくらいの頻度で起きるか」という裾の形まで言える。これは実務的には大きいことです。裾の形が分かるということは、最悪ケースの見積もりが、経験則ではなく計算になるということですから。

ただし、その恩恵を受けられるのは「実際に確かめられた系」に限られる。ここが厳しいところです。

次に、確かめられていないときに何が起きるのか。ここに、分野を問わず効いてくる教訓があります。

ひとつ。両対数グラフの直線は、いちばん弱い証拠です。 指数がひとつ合ったからといって、同じ機構が働いている証拠にはならない。スピン鎖は、実在の結晶と冷却原子と量子コンピュータという3つの独立な実験で指数が一致してなお、分布が違った。

ふたつ。強い証拠は、分布の形と、相関の構造と、初期条件への依存の仕方です。 液晶の実験が説得力を持ったのは、指数を出したからではなく、歪度と尖度を測り、円形と平らで分布が違うことまで示したからでした。

みっつ。過渡的な振る舞いを漸近的な振る舞いと取り違えないこと。 細菌コロニーは、KPZに向かっていたのではなく、KPZに到達しないまま別の不安定性の中にいた。データが取れる時間の窓が、系が本性を現す時間より短いことは、ごく普通に起こります。

この3つは、そのまま、事業のデータを見るときの構えでもあると思います。売上の分布、都市の規模、企業の大きさ、SNSの拡散——どれも「べき乗則に見える」ことがよくあります。そこで指数を1つ求めて満足するのではなく、分布の全体の形が本当にその族なのか、対数正規分布と区別がついているのか、観測期間が短いだけの過渡状態ではないのか。同じ問いを立てられるかどうかで、その分析の値打ちはかなり変わってくるように思います。

結局のところ

私がこの話をいちばん面白いと思うのは、40年かけて確かめられたのが「つながっている」ということだけでなく、「どこまでつながっていて、どこからつながっていないか」だという点です。

液晶の乱流と、光でできた流体と、トランプの並べ替えと、ランダム行列の固有値。これらは本当に同じでした。証明があり、実験があり、精度があります。

一方で、教科書に載っていた細菌コロニーは違った。そして磁石の中のスピンは、半分だけ同じで、半分は違った。

「あらゆるものはつながっている」というのは、気持ちのいい言葉ですが、何も言っていません。本当に価値があるのは、つながっている場所とつながっていない場所のあいだに、誰かが線を引いてくれたことのほうだと、私は思っています。その線は、まだあちこちで引かれている途中です。