#ランダム行列

「ランダム行列の応用可能性の真髄は,ランダム行列に関わる数理的手法の汎用性にある」 超弦理論,解析数論,結び目理論,複雑系ネットワーク,機械学習…,など,ランダム行列は高い応用可能性をもつ.このように多くの分野において注目されるランダム行列に対して,本書ではその基礎付けを与える豊かな数理構造に重点を置いて説明する. 第I部の「基礎編」にてランダム行列のもつさまざまな性質について説明し,そうした性質が関連する話題を第II部の「発展編」で取り扱う.そうした話題に触れながら「,整数の分割」「非線形微分方程式」「場の理論の方法」などの種々の数理的手法に親しんでもらうことも本書の目的の一つである. 【目次】 第I部 ランダム行列:基礎編 第1章 ランダム行列基礎論 1.1 複素Hermite ランダム行列 1.2 実対称ランダム行列,四元数自己双対ランダム行列 1.3 βランダム行列 1.4 カイラルランダム行列 1.5 ランダム行列の分類 第2章 Coulomb気体の方法 2.1 有効作用 2.2 スケーリング極限と鞍点近似 2.3 固有値密度函数 2.4 汎函数形式 2.5 スペクトル曲線 2.6 量子スペクトル曲線 2.7 カイラルランダム行列 第3章 固有値相関と固有値統計 3.1 観測量と相関函数 3.2 行列式構造:β= 2 3.3 Christoffel–Darboux カーネル 3.4 スケーリング極限 3.5 固有値統計 3.6 Pfaffian,四元数行列式構造: β=1,4 3.7 特性多項式 第4章 円型ランダム行列 4.1 円型ユニタリ集団 4.2 行列式構造 4.3 ポテンシャル変形 4.4 円型直交,シンプレクティック集団 第II部 ランダム行列:発展編 第5章 ランダム行列と可積分系 5.1 Lax 形式 5.2_函数 5.3 Fredholm行列式, Painlev´e 方程式<, br> Schlesinger方程式 第6章 ループ方程式 6.1 位相的展開 6.2 ループ方程式 6.3 演算子形式:共形場理論の方法 第7章 超ランダム行列 7.1 Grassmann 数 7.2 超ベクトル空間 7.3 超行列積分 7.4 Coulomb 気体の方法 7.5 Wigner 半円則 第8章 Chern–Simons 行列模型 8.1 分配函数 8.2 Wilsonループと結び目不変量 8.3 Coulomb気体の方法 8.4 超行列Chern–Simons 理論 第9章 ランダム分割 9.1 Plancherel 分布 9.2 Schur測度 9.3 演算子形式 9.4 相関函数 9.5 Coulomb気体の方法 第10章 角度積分 10.1 Itzykson–Zuber積分 10.2 外場行列 10.3 ランダム行列鎖 10.4 超群IZ/HC 積分 10.5 Chern–Simons 行列模型 第III部 付録 付録A 特殊函数 付録B 対称多項式 付録C 文献案内 参考文献 索引