【実験・電子工作】コンデンサ特性の理解：オシロスコープを使って充放電現象を観察する

前回のノートで，簡単な スイッチ付き LED 回路 のスイッチオン時の電圧挙動を確認しました．

今回は，コンデンサの基礎である充放電現象を理解するために，
直接それらを観察してみたいと思います．

道具リスト

セラミックコンデンサ：50V耐圧を利用

オシロスコープ：DSO138

その他：今回利用したものです

• ブレッドボード

• LED

• スイッチ

• 抵抗

• 5V電源（USBケーブルから自作）

コンデンサの基礎論：静電容量（capacitance, electrostatic capacity）と放電（discharge）

まず，コンデンサの基礎を確認しておこう．

コンデンサの構造：絶縁体を導体板で挟んだもの

コンデンサは２枚の金属板で絶縁体を挟んだものです．
絶縁体は，電子が伝導帯にないために，電流がほぼ流れません．

これに電圧を印加した場合にどのような振る舞いをするかは，
電磁気学の基礎方程式である，
Maxwell 方程式からいくつかの式を考えます．

アンペール-マクスウェル（Ampere-Maxwell）の式：変位電流が流れることに注意する

Ampere-Maxwell の方程式を確認します．

この式は物質中（誘電率 $${\epsilon}$$, 透磁率 $${\mu}$$）で成立する．

磁界$${\mathbf{H}}$$に関しては磁束密度 $${\mathbf{B}}$$ を用いて，$${\mathbf{H} = \mathbf{B} / \mu}$$と表せる．

一方で，電束密度 $${\mathbf{D}}$$と電場 $${\mathbf{E}}$$ については，

の関係が成立する．ここで，$${\mathbf{P}}$$ は絶縁体内の分子が作る電気双極子の集まり，分極である．

電圧を印加しても，絶縁体には電流は流れないので，電流密度（伝導帯にある自由電子による流れ）は$${\mathbf{j}_{f} = 0}$$である．

すなわち，コンデンサに充電される電荷は，
変位電流 $${j_{d}}$$
によって行われることに注意しよう．

ガウス（Gauss）の法則：表面電荷に関するガウスの法則を適用する

Ampere-Maxwell 方程式中に定義された変位電流（物質中の分極の誘起によって生じる見かけの電流）から，極板間に電圧が加えられたとき，変位電流 $${j_{d}}$$ によって充電が起こることを確認した．

充電される電荷量に関して，その表面電荷（電極板表面に単位面積あたりに充電される電荷量）を $${\sigma(t)}$$ として，ガウスの法則をこの平行板の一方に適用すれば，以下の式が得られる：

コンデンサの容量：ガウスの法則から電位と容量の比例関係が成立

極板の断面積を $${S}$$ とすると，極板に蓄えられる電荷 $${Q}$$ は，以下のように表せる．

ここで，図１に関して，
電極が互いに距離$${d}$$だけ離れあった極板間として，
それらにかかる 瞬時電圧 $${V(t)}$$ を考えよう．
これは，電位差の定義から以下のように表せる：

したがって，瞬時電圧と，蓄えられる電荷に関する比例関係が得られる：

ここで，比例係数 $${C}$$ を定義する： 

$${C}$$ をコンデンサの容量(キャパシタンス, capacitance)と呼び，
特に静電気（時間に依存しない場合）に関しては，
静電容量（electrostatic capacity）という．

理論：RC回路を考える

コンデンサの充電・放電現象を観察するために，以下の回路を設計します．
回路への供給電圧は $${V_{0} = 5}$$[V] とする．

この回路は以前のノートで議論した，スイッチ付きLED回路の拡張です．

この図２の回路に関して，抵抗で測定される電圧は，回路を流れる電流を測定していることに相当します．

今回測定したいのは，コンデンサからの放電です．

測定部分： コンデンサ C にかかる電圧を測定

回路のどの部分の電圧を測定するかについて書いておこう．
コンデンサ C に Oscilloscope のプローブを接続して，挙動を確認することを想定します．

コンデンサでの電圧降下 $${V(t)}$$ とします．
ただし， LED の順方向電圧は $${V_{F}(t) \to V_{F} , (t \to \infty)}$$ （2V程度で一定）とする．

電圧・電流方程式：RC回路の電圧・電流を計算

まず，図２のRC回路の各電圧を考える．
電圧・電流に関する方程式を列挙しよう：

ここで，コンデンサに流れる変位電流は，コンデンサに蓄えられる電荷 $${Q(t)}$$ の時間微分から得ることができることに注意．

充電現象：スイッチを入れた瞬間からの微小時間に関して記述する

まず，$${t \approx 0}$$ 近傍の微小時間において，
変位電流が流れている間は，$${V(t) < V_{F}}$$であるといえる．
すなわち，この時，$${I_{F} = 0}$$ であるとして，$${V(t) > V_{F}}$$ になるまでの挙動を調べる． 
$${I_{R}(t) = V(t)/R}$$ に注意して，電圧方程式を整理しよう：

初期条件 $${V(t = 0) = 0}$$ のもとで，
式（１０）の微分方程式を解けば，電圧式を得る：

ここで，$${\tau}$$ はこの回路の時定数である．

ちなみに，式（１１）の電圧式が成り立つ時刻の範囲について計算できる：

すなわち，充電時にコンデンサにかかる電圧 $${V(t)}$$ は以下のように表せる：

放電現象：スイッチを OFF にした際の放電に関して記述

コンデンサに時刻 $${t = t_{f} > 0}$$ まで，電荷 $${Q_{f} = C V_{f}}$$ が充電された後，スイッチを OFF にした際に，どのような放電現象が観察できるか，理論的に考察しておこう．

先ほどの充電式から，$${V(t=t_{f}) \leq V_{F}}$$ であり，
LEDへと放電するだけの電圧はないことに注意しよう．
また，放電時には，変位電流は生じていないことにも注意．

この時，コンデンサ C と 抵抗 R の閉回路を考え，電圧方程式を得る：

この方程式を解くと，放電に関する時間変化が得られる：

ここで，放電の特徴時間 $${\tau_{0}}$$ は次式である：

シミュレーション：数値計算によるグラフのプロット

このようなちょっとしたシミュレーションは，Google Colab を使った ノートブック で簡単にできますね．Gemini によるサポートもあって，コーディングはスムーズにできます．

無次元化：電圧式を整理する

式（１４）および，式（１６）の電圧式をそれぞれ物理量の単位に注意して，変形しておくと，シミュレーションしやすいです（無次元化）．

シミュレーションをするにあたって，パラメタを以下のように設定します．

シミュレーション結果：グラフのプロット

まず，充電時のシミュレーション結果を示します：

充電に対して，放電の方がかなり時間がかかることが確認できます．

実験：RC回路のブレッドボード上への実装と波形観察

いくつかコンデンサ容量を変えてみて，充電や放電時間の変化を直接観察してみます．

回路実装：ブレッドボード上への実装

図のようにブレッドボード上に実装します．

このコンデンサ間に生じる電圧特性をオシロスコープで観察することで，
コンデンサへの充放電現象を観察します．

波形測定：コンデンサにかかる電圧測定

以前紹介した，激安オシロスコープ DSO138 を用います．

 測定結果を以下に列挙していきます：

• 0.1uF

• 0.47 uF

• 1.0 uF

充電，放電時の電圧波形の形状は，シミュレーションでプロットしたグラフ（図３，図４）ととてもよく一致している．

また，各測定結果の時間レンジに注意してほしい．
放電時間は容量を大きくするにつれて，長くなっていっていることが確認できる．この振る舞いも理論通りの結果である．

かなり精度良く，コンデンサの充放電現象を測定できている．

まとめ

今回，コンデンサの基礎論から，その充放電現象に関して，
理論だけでなく，実験も含めたノートを提供できたと思います．

個人的には，補遺に示すようなプロトタイプの失敗と試行錯誤を通して，
実践的な多くの学びが得られました．

補遺：回路設計での学び・プロトタイプの失敗原因

この図２のRC回路を設計するにあたって，いくつかのプロトタイプを作ったが，その試行錯誤によって，コンデンサに関する理解がかなり深まりました．

失敗１：コンデンサの放電ができない

このプロトタイプでは，コンデンサに充電できますが，放電経路がありません．特にその容量が大きい場合には，安全性に欠けます．真似しないこと．

失敗２：放電経路がない・電源へのダメージの懸念

まず，先ほどの失敗と同様に放電経路がありません．
さらに，スイッチを入れた際に，変位電流が流れますが，
コンデンサに直列な抵抗がないので，電流制御ができていません．
場合によっては，大電流が流れて，電源にダメージが出る可能性もあるので，真似しないこと．

失敗３： LEDの保護ができていない

充放電は行えるが，先ほど同様，LEDに急峻な変位電流によるダメージが出る可能性がある．

失敗４：放電できない/定常電流が流れない

この回路では，コンデンサが充電されるまでの一瞬だけ，変位電流による電流が流れますが，それ以降は電流が流れません．
LEDはついていないように見えます．
また，放電経路もありません．