Excelで双子素数探索
素数階乗素数（そすうかいじょうそすう、英: primorial prime）とは、p を素数として、p# ± 1 の形で表される素数である。ここで、p# は素数階乗（p 以下の素数の総乗）である。
プリモリアル素数なるものを、こちらの記事で知りました。
考えてみれば、5以上の素数は必ず$${p\equiv\pm1\pmod{6}}$$なわけだし、３以上のnなら、$${n\#\equiv0\pmod{6}}$$だから、その前後の数字は素数の可能性があるわけだ。
もしかすると、双子素数探しに役立つか？と思ってちょっと調べてみました。
双子素数の分布割合
双子素数がどのくらいの頻度で出現するのかを知らないので、まずはそちらを調べてみることにします。
$${6n}$$の前後数が素数なら「±」。
$${6n-1}$$だけ素数なら「－」。
$${6n+1}$$だけ素数なら「＋」。
どちらも合成数なら「×」。
と表示してみました。
=LET(
_n, B8,
_na, _n - 1,
_nb, _n + 1,
_fa, COUNT(Factor30(_na)) = 1,
_fb, COUNT(Factor30(_nb)) = 1,
IFS(AND(_fa, _fb), "±", _fa, "ー", _fb, "＋", TRUE, "×")
)今回はワンライナーではないです。ゴールが定まっていないので、いろいろ試しつつやっていきます。
6から6000までの6nに対して、調べたところ、前後が素数になる6nは約14.2%であることが分かりました。
ついでに、素因数分解したときの素因数の数に隔たりがないか調べてみましたが、どれも同じぐらい・・・。
これは、1000個というサンプル数が少ないからですかね？
グラフにしてみる
数を多くすれば、双子素数割合がどんどん減っていくはずなので、グラフ化してみます。
横軸が6n、縦軸が個数です。
2000あたりで、両方とも合成数になる割合が急上昇していますね。
6n-1だけ素数の場合と6n+1だけ素数の場合は、少しだけ6n-1が多いものの並走しているのも面白いですね。
100%積み上げ縦棒グラフにしてみたものがこちら。
このまま遷移していくと仮定すると、双子素数割合が10％ぐらいに落ち着きそうに見えますがどうなのでしょう。
せっかくなので60万までやってみましょう。
5%近くまで下がりましたね。
このまま0%に近づいていくのでしょうか？
プリモリアル素数
では、プリモリアル素数での双子素数分布をみてみましょう。
とはいえ、Excelでは階乗計算はたいしたことはできません。
調べたところ、$${41\#}$$が限界のようなので、そこまで調べてみます。
おっと、なんだこれ？
たかだか$${41\#}$$で、双子素数割合が25%？？
改めてWikipediaを見直してみます。
ユークリッド数
素数に限らず、p# + 1の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによる。
・・・（中略）・・・
p# + 1が素数となるような素数 p は、2024年8月現在で
2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113,4328927, 5256037
の24個が知られている。このうち最大のもの5256037# + 1は2,281,955桁の数で、2024年8月にItsuki Kadowakiにより発見された。
クンマー数
p# − 1 の形の数は、クンマーがユークリッドの定理を証明するのに用いた、という由来があり、 第二ユークリッド数またはクンマー数(Kummer number)と呼ばれている。
・・・（中略）・・・
p# − 1 が素数となるような素数 p は、2017年8月現在で
3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133
の20個が知られている。このうち最大のもの 1098133# − 1 は476,311桁の数で、2012年3月に分散コンピューティングプロジェクトの PrimeGrid により発見された。
ユークリッド数、クンマー数併せて44個しか見つかってないんかい！
そのうち3,5,11の３つがダブっているので、プリモリアル素数は41個ってことか。
つまり、前後が素数になっている素数階乗は３つしかないのね。
素数発見器なのかと思っていたら逆だよ。勘違いしたよ。
まぁ、そう簡単に双子素数生成器ができたら、未解決問題じゃないですもんね。
