【vs.自己相関🔥】Durbin-Watson検定を正しく実施するために大切なこと🌈：計量経済学 No.12
Introduction：計量経済学への挑戦🔥
経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍
「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います
学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです
しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います
実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦
何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました
これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍
先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います
だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います
私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖
本投稿作成における参考文献は以下の通りです
なぜ、計量経済学を学ぶのか？？
計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです
1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍
このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています
すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、 時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです
今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした
そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます
これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします
これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読くださいね💖
前回のお復習い✨
【臨界値を模索せよ🌈】なぜ単位根検定は、Dickey-Fuller分布に従うのか？：計量経済学✨ No.8
【単位根はありますか？】非定常的な時系列モデルに対するKPSS検定の正しい理解：計量経済学✨ No.9
【見せかけの回帰？🤔】単位根の存在が回帰分析にもたらす甚大なインパクトについて：計量経済学✨ No.10
【系列相関とは？】自己相関の問題に直面する時系列モデルとOLS推定量：計量経済学🌈 No.11
系列相関に対するDW検定🌟
回帰分析において、誤差項の自己相関を検定するための方法のひとつに、Durbin-Watson検定があります📝
この投稿では、以下のような時系列回帰モデルを考えて行きます
$$
y_t = \beta_0+\beta_1x_{t,1}+\cdot\cdot\cdot \beta_px_{t,p}+u_t\cdot\cdot\cdot (1)\\(t=1,2,\cdot\cdot\cdot,T)\\ \\u_t =\rho u_{t-1}+\epsilon_t, |\rho|<1\cdot\cdot\cdot (2)\\ \\notice:\epsilon_t \thicksim i.i.d(0,\sigma^2)
$$
ここで(1)式に最小自乗法(OLS)用いて、残差(ei)を計算し、以下のような定式をDW比と定義します
$$
DW=\frac{\textstyle\sum_{t=2}^T(e_t-e_{t-1})^2}{\textstyle\sum_{t-1}^Te_t^2}\cdot\cdot\cdot (3)
$$
これが、Durbin-Watson比であります
DW比とは、誤差項（実測値と理論値の差）間に自己相関があるかないかを判別するための指標です
回帰分析では、異なる誤差項間には相関がないことを仮定しているため、ダービン=ワトソン比がその指標となると言えるのです
また(3)式の分子は、下記の(4)式のように展開できます
$$
\displaystyle\sum_{t=2}^T(e_t-e_{t-1})^2=\displaystyle\sum_{t=2}^Te_t^2+\displaystyle\sum_{t=2}^Te_{t-1}^2-2\displaystyle\sum_{t=2}^Te_te_{t-1}\cdot\cdot\cdot (4)
$$
ここで、残差(et)の1階の自己相関係数を、(5)式のように定義しましょう
$$
r=\frac{\textstyle\sum_{t=2}^Te_te_{t-1}}{\textstyle\sum_{t-1}^Te_t^2}\cdot\cdot\cdot (5)
$$
すると、標本の大きさ(T)が大きいときには、DW比が次のような関係に近似されることがわかるのです
$$
DW\simeq 2(1-r) \cdot\cdot\cdot (6)
$$
上記の議論を換言すれば、DW比が与えられば
$$
r\simeq 1-\frac{1}{2}DW\cdot\cdot\cdot (7)
$$
というように(7)式から、自己相関係数の近似値を求めることができるのです📝
(6)式：DW≒2(1-r)より、r=1,0,-1の各値に対して、DW=0,2,4が対応していることがわかります
したがって、(2)式におけるρが1に近いときには、DW比が0に近い値を取ります
反対に、ρが－1に近いときには
DW比は4に近い値をとります
なお、DW比が2のときに、ρ＝0となります
つまり、誤差の相関がない場合に対応しているのです
正の自己相関の検定
まずDW検定における
正の自己相関の判定について解説します
$$
DW Test for\\ "Positive" Autocorrelation\\H=0:\rho=0,H_1:\rho > 0\\ \\ \\(1)DW > d_{L0} \to Reject H_0 \\(2)DW< d_{U0} \to Accept H_0\\(3)d_{L0} \le DW \le d_{U0} \to
Indeterminate!!
$$
負の自己相関の検定
同様に、負の自己相関の検定は、次のように置き換えることで判定できるようになります
$$
DW Test for\\ "Negative" Autocorrelation\\H=0:\rho=0,H_1:\rho < 0\\ \\ \\(1)DW > 4-d_{L0} \to Reject H_0 \\(2)DW< 4-d_{U0} \to Accept H_0\\(3)4-d_{L0} \le DW \le 4-d_{U0} \to
Indeterminate!!
$$
具体的なDW検定における統計表は以下の通りです📝
この分布は、定数項を除いた説明変数の数(p)とサンプルサイズの大きさ(T)に依存します
Durbin-Watson比に基づく誤差項の自己相関の検定は、ｔ検定やＦ検定と並ぶ重要な検定として、回帰分析において頻繁に用いられます📝
DW検定における注意点‼️
しかし、この検定には
以下の注意点が挙げられます📝
①結果を保留する必要のある領域があること
②説明変数に被説明変数の過去の値が含まれていないこと
③回帰モデルに定数項が含まれている必要があること
これらの3つのことに注意して、DW検定を
正しく行うことが大切になることをしっかり
確認しておきましょう👍
本日の解説は、ここまでとします
次回は「不均一分散への対処」という
テーマを徹底的に考察していきたいと思います
マクロ経済学をより理解する手法としての計量経済学ならびに時系列分析の知識を一緒に獲得していきましょう🔥
付録：私の卒論研究テーマについて🔖
私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝
日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）
経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します
だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています
決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています
ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥
本日の解説は、以上とします📝
今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺
おすすめマガジンのご紹介🔔
こちらに２４卒としての私の就職活動体験記をまとめたマガジンをご紹介させていただきます👍
様々な観点から就職活動について考察していますので、ご一読いただけますと幸いです
改めて、就職活動は
本当に「ご縁」だと感じました🍀
だからこそ、ご縁を大切に
そして、選んだ道を正解にできるよう
これからも努力していきたいなと思います🔥
こちらのマガジンにて
卒業論文執筆への軌跡
エッセンシャル経済学理論集、ならびに
国際経済学🌏の基礎理論をまとめています
今後、さらにコンテンツを拡充できるように努めて参りますので、今後とも何卒よろしくお願い申し上げます📚
最後までご愛読いただき誠に有難うございました！
あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏
この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば
大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！
いいなと思ったら応援しよう！
よろしければ、応援お願いします！
いただいたチップはクリエイターとしての活動費に使わせていただきます！
引き続き何卒よろしくお願いいたします💛