【数学】素数について、素数判定や未解決問題も紹介

みなさんこんにちは。私は数学が好きなのですが、今回は素数についての記事を書こうと思います。先月にはnoteで初めて数学の記事を書いたのでそちらもぜひご覧ください

素数とは

素数とは、2以上の自然数で、1とその数自身以外に約数を持たない自然数のことです。つまり約数が2つある自然数のことです。0や1は素数ではありません。2から3、5、7、11、13…と続きます。

エラトステネスの篩

エラトステネスの篩は、えらとすてねすのふるいと読み、与えられた数以下の全ての素数を効率的に見つけるためのアルゴリズムのことです。古代ギリシャの数学者エラトステネスにより考案されました。
まず、調べたい数以下の自然数を全てリストアップします。今回は30までとします。
２、３、４、５、６、７、８、９、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30
最初の2は残しておき、2の倍数である(4、6、8…)を消していきます。
(２)、３、　　５、　　７、　　９、　　11、　　13、　　15、　　17、　　19、　　21、　　23、　　25、　　27、　　29
続いて、残った数から、3の倍数を消していきます。
(２)、(３)、　　５、　　７、　　　　11、　　13、　　　　17、　　19、　　　　23、　　25、　　　　29
続いて5で同じ作業をし、これを繰り返していくとこうなります。
(２)、(３)、(５)、(７)、(11)、(13)、(17)、(19)、(23)、(29)
よって、エラトステネスの篩によって、30までの素数はこのようになることがわかりました。

57は素数なのか判断する方法

例えば、57という数字で、素数なのかどうか確かめてみましょう。結論、57にルートをつけた、2乗する、つまり、2回かけて57になる57の平方根のプラスの数を調べ、その数以下の素数で割ることができれば素数ではない、割り切ることができなければ素数であるといえます。√57は、7.5くらいなので、7以下の素数で割り切れるか確かめます。7では割り切れません。5でも割り切れません。3では、3かける19と割り切れます。よって、57は素数ではないことがわかりました。91でもやってみましょう。√91は、9.5くらいなので、7から割っていくと、7かける13となり素数ではないことがわかりました。
なぜ、平方根をとってそれ以下の素数で割り切れることができるか確かめることが素数判定につながるのでしょうか。理由は、正の整数Nを、2つの正の整数の積の形に表すとき、必ず、そのうちの一つは1以上√N以下であり、もう一つは√N以上N未満になるからです。Nが2以上√N以下のすべての自然数で割り切れなかったとします。もしNが√N以上N未満の自然数で割り切れるとしたら、その自然数との積がNとなるような2以上√N以下の整数があるはずです。同時にNはこの整数で割り切れることになり、Nが2以上√N以下の全ての自然数で割り切れないことに矛盾します。よってこのとき、Nは√N以上N未満のどの自然数でも割り切れないのです。
ちなみに、57はグロタンディーク素数、91はブンゲン素数と言い、どちらも数学者が誤って素数として例やリストに挙げてしまったことから〜素数という面白い名前がついています。

未解決問題

素数に関する未解決問題は数多く存在していますが、双子素数問題は有名で理解しやすいと思います。2つの素数で、差が2である、2だけ離れている素数の組である双子素数は無限に存在するのかという問題です。例えば、11と13は双子素数です。大きい数字になればなるほど双子素数が出現する頻度は減っていきますが、無限に存在するのかはわかっていません。また、〜は無限に存在するか、という問題では、2の冪から1を引いた(2^n) - 1が素数になるメルセンヌ素数は無限に存在するのかも未解決です。メルセンヌ予想とも呼ばれます。正しいのではないかと思われているがまだわかっていないのは予想といい、正しさが証明されることもあれば、予想が外れているのか反証もできていないものであります。そのほかの未解決問題は、ルジャンドル予想があります。隣り合う平方数の間には必ず素数が存在するのかという問題です。例えば、4^2=16と5^2=25の間には17、19、23の素数があります。双子素数問題とメルセンヌ予想とルジャンドル予想を紹介しましたが、人類がわかっていないことがいつか解決され、明らかになる日が来るかもしれません。

最後に

最後まで読んでくださりありがとうございました。今回の記事はいかがだったでしょうか。私は数学が好きなので、また別に記事を書くかもしれません。それでは以上になります。