2025.4.28 数学｜【解答編】期待値・分散・共分散・相関係数・変動係数

問題編はこちら（式の右辺を空欄にしただけだが）。

期待値の定義

$$
E(X)=
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{k=-\infty}^\infty k\cdot f(k) & X:離散 \\
\displaystyle\int_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,dx & X:連続
\end{cases}
$$

$$
E[g(X)]=
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{k=-\infty}^\infty g(k)\cdot f(k) & X:離散 \\
\displaystyle\int_{-\infty}^\infty g(x)\cdot f(x)\,dx & X:連続
\end{cases}
$$

分散・共分散・相関係数・変動係数の定義

• $${V(X)=E[(X-\mu)^2]}$$

• $${\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}$$

• $${Cov(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]}$$

• $${\rho(X,Y)=\displaystyle\frac{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}{Cov(X,Y)}}$$

• $${CV(X)=\displaystyle\frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}$$

期待値と分散・共分散の関係

• $${V(X)=E(X^2)-E(X)^2}$$

• $${V(X)=E[X(X-1)]+E(X)-E(X)^2}$$

• $${Cov(X,X)=V(X)}$$

• $${Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)}$$

各種関係式

• $${E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)}$$

• $${E(\displaystyle\sum_i a_iX_i) =\sum_ia_i E(X_i)}$$

• $${V(aX+bY)=a^2V(X)+2ab\,Cov(X,Y)+b^2V(Y)}$$

• $${\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)}$$

• $${Cov(X+Y,Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)}$$

• $${Cov(aX+b,Y) =a\,Cov(X,Y)}$$

• $${Cov(aX,bY) =ab\,Cov(X,Y)}$$

• $${\rho(aX+b,cY+d) =\rho(X,Y)}$$

$${X,Y}$$が独立であるとき、

• $${E(XY) =E(X)E(Y)}$$

• $${V(X+Y) =V(X)+V(Y)}$$

• $${Cov(X,Y) =\rho(X,Y)=0}$$