勝手に与えた時空計量も、実はアインシュタイン方程式の解ではある。

サイエンス社から『量子情報と時空の物理【第3版】』 が出ます。発売を記念して、2025年の「数理科学」に出た『量子情報、エネルギー、時間の矢』-量子の今後100 年へのパースペクティブ-という記事の最終稿を、サイエンス社のご厚意により、公開しました。PDFのダウンロードが可能です。

この記事の中の4章4.1節では、一般相対性理論における物質の「エネルギー条件」に触れています。たとえば平坦時空ならば、正のエネルギー密度領域から遠く離れた空間領域に、その絶対値が無限に大きな負エネルギー密度の励起を作ることは、量子力学でも禁止されています。負エネルギーをもつ励起は、正エネルギー励起なしに単独で存在することはできないのです。このようなエネルギー密度の負の値に対する制限を、一般的にエネルギー条件と呼んでいます。

もし電磁場と相互作用する粒子の電荷密度のように、正負両方の値を勝手にエネルギー密度がとれば、アインシュタイン方程式の厳密解は無尽蔵に生成できます。任意の時空計量テンソルgに対して、保存する物質のエネルギー運動量テンソルTが方程式を通じて与えられるからです。しかし、実際には上で述べたエネルギー条件が、勝手な負のエネルギー密度解を阻んでいるのです。これを今回説明しましょう。

まず電磁場の例から考えてみます。ゲージポテンシャルAを用いると、電場と磁場を表す反対称テンソルFは

で書かれます。そして電流とＡが結合するマクスウェル方程式は

となります。保存する電流を与えたときにこの方程式を解いてＡを決定することが多いのですが、これを逆方向に考えてみましょう。つまり勝手にＡを与えて、それから決まる電磁テンソルＦから、電流を

で決めてしまうのです。テンソルFの添え字の反対称性から、この電流Ｊは自動的に下記の保存則を満たします。

後は、このような電流を空間に配置すれば、最初に任意に設定したゲージポテンシャルAが実現することになります。Jは保存しているので、Jから作られる流線が時間的であれば、正負の電荷と電流を適当に用意して、空間に配置することが原理的に可能です。ですから、このような逆問題の観点では、マクスウェル方程式は自動的に解くができるのです。では同じような逆問題は、一般相対性理論でも解けないでしょうか？これを次に考えてみます。

物質のエネルギー運動量テンソルTを与えたときに、時空計量を定めるのが、以下のアインシュタイン方程式です。

この方程式を、時空計量テンソルgが与えられたときの、物質のエネルギー運動量テンソルＴを与える式だと解釈してみましょう。

計量テンソルgからはリッチテンソルとスカラー曲率は自動的に計算されるので、この（６）式の右辺は、勝手に与えたｇに対して一意に決定されています。そしてこのように決められた物質のエネルギー運動量テンソルＴは、以下のように共変的な保存則を満たすことがわかります。

まず（６）式の両辺の共変的に微分をすると

が得られます。ここで

という恒等式を使うと、

となります。したがって

という関係式が得られますが、ここで計量テンソルのビアンキ恒等式から

が常に成り立つことを使えば、物質のエネルギー運動量テンソルＴの共変的な保存則、つまり

が示されるのです。保存しているテンソルＴなので、上で述べた電磁気における電流Ｊのように、Ｔの分布を空間の中で実現できれば、アインシュタイン方程式は解けたことになります。ところがエネルギー条件がそれを阻むわけです。

電磁場の源となる電荷密度は、プラスとマイナスの両方の値をとれますが、重力場の源となるエネルギー密度は、古典理論の範疇では曲がった時空でも、非負の値しか許されていません。電磁気学ならば、適当な速度で流れる荷電粒子の集団分布を時空上にうまく配置すれば、基本的には任意の保存電流Ｊを実現できます。ですから電荷密度の符号を気にしないで済みます。しかし（６）式で与えられたＴのエネルギー密度が負になってしまうと、古典的な一般相対性理論では許されません。そのｇはアインシュタイン方程式自体の厳密な解であるのですが、物理的な解とはみなされないのです。また保存しても、タキオン的運動をする物質のエネルギー運動量テンソルの場合も、物理的には除外されます。

一方で量子的な効果を考えれば、エネルギー密度の負の値は可能となります。

しかし量子効果を取り入れた場合でも、空間全体の物質のエネルギー密度が負であることは禁止されます。そのような物質の量子状態は存在できないと考えられているからです。このため、たとえばアルクビエレの超光速ワープドライブ航法なども不可能になります。

方程式の非線形性からくる数学的複雑さを超えて、エネルギー条件は、アインシュタイン方程式を解く本質的な困難を教えているのです。