剰余群での共役関係〈龍孫江の群論道具箱〉

　部分群の対応定理によって，剰余群の部分群はもとの群の部分群（の一部）と１対１に対応します．この対応が包含関係を保つことは示しましたが，実はよりいろいろな関係を保つことがわかります．

動画はこちらです：https://youtu.be/1ZLlk9H8718

定理（剰余群での共役関係）

群$${G}$$の正規部分群$${N}$$に対し，$${\pi \colon G \to G/N}$$を自然な全射とする．$${G}$$の部分群$${H_1, H_2 \supset N}$$に対し

$${H_1}$$と$${H_2}$$は$${G}$$内で共役$${\iff}$$$${\pi(H_1)}$$と$${\pi(H_2)}$$は$${G/N}$$内で共役

である．特に$${H \supset N}$$が$${G}$$の正規部分群$${\iff}$$$${ \pi(H)}$$が$${G/N}$$の正規部分群であり，このとき

$${\pi(G) / \pi(H) \simeq G/H}$$．□