【ゴールドバッハ予想・第3弾】平方差・トーシェント・「30の余り」――この包囲網に、まだ逃げ道はあるのか？
数学好きのskyです。
前作では、ゴールドバッハ予想を
$$
2M=p+q
$$
という「偶数を2つの素数に分解する問題」として見るだけでなく、
$$
p=M-d,\qquad q=M+d
$$
と置くことで、
$$
N=pq=(M-d)(M+d)=M^2-d^2
$$
という平方差の問題へ変換する視点を整理しました。
さらに、(N=pq) が異なる2素数の積である場合には、
$$
\varphi(N)=(p-1)(q-1)
$$
なので、
$$
N-\varphi(N)=p+q-1=2M-1
$$
という、トーシェント関数との非常に美しい関係も現れます。
ただし、前作の時点では、これだけでゴールドバッハ予想が証明されたわけではありません。
むしろ重要なのは、
ゴールドバッハ分解の存在を、平方差と素因数構造の問題へ翻訳できないか？
という発想でした。
今回はそこからさらに一歩進めて、
「中心 (M) を固定したとき、距離 (d) はどこまで絞り込めるのか？」
を考えてみます。
そして、ここで「30」という数字が非常に面白い役割を持ってきます。
第1章 中心軸を固定すると、平方差の世界が見えてくる
偶数 (2M) に対して、
$$
p=M-d,\qquad q=M+d
$$
と置きます。
すると、
$$
p+q=2M
$$
ですから、(p,q) が素数なら、これはそのままゴールドバッハ分解です。
さらに積を
$$
N=pq
$$
と置けば、
$$
N=(M-d)(M+d)=M^2-d^2
$$
となります。
つまり、
$$
\boxed{N=M^2-d^2}
$$
です。
ここで面白いのは、ゴールドバッハ予想を
$$
2M=p+q
$$
という「和」の問題から、
$$
N=M^2-d^2
$$
という「平方数との差」の問題へ移せることです。
私はこの「中心 (M) と距離 (d)」という座標で素数ペアを見ると、今までとは違う構造が見えてくるのではないかと考えています。
第2章 まずは「平方への近接性」を固定する
前作では、研究上の追加条件として
$$
0\le d<\frac M2
$$
を置きました。
この条件を置くと、
$$
N=M^2-d^2
$$
に対して、
$$
d^2<\frac{M^2}{4}
$$
なので、
$$
N>M^2-\frac{M^2}{4}
$$
すなわち、
$$
\boxed{\frac34M^2 < N\le M^2}
$$
が得られます。
この「平方への近接性」については、前作で導出を詳しく説明しています。
ここは今回の記事で突然登場する新しい定理ではなく、前作で置いた追加条件から得られたサイズ条件です。
この条件を今回の議論でも引き継ぎます。
ただし、ここで大切なのは、
$$
(\frac34M^2 < N\le M^2)
$$
自体がゴールドバッハ予想から必然的に出てくるわけではない
ということです。
あくまで、
$$
0\le d<\frac M2
$$
という今回の研究方針上の追加条件から得られるものです。
第3章 「6」と「10」が交差すると「30」が現れる
ここからが今回の新しい観察です。
5より大きい素数は、下一桁が
$$
1,3,7,9
$$
のいずれかです。
また、2と3を除く素数は、
$$
6k\pm1
$$
の形になります。
つまり、素数を考えるとき、
2を避ける条件
3を避ける条件
5を避ける条件
を同時に考えると、自然に
$$
\operatorname{lcm}(2,3,5)=30
$$
が現れます。
そこで、中心 (M) を30の倍数、
$$
M\equiv0\pmod{30}
$$
に固定してみます。
このとき、
$$
p=M-d,\qquad q=M+d
$$
です。
(p,q) が2、3、5より大きい素数になるためには、(M-d) と (M+d) のどちらも2、3、5で割り切れてはいけません。
$$
(M\equiv0\pmod{30})
$$
なので、結局 (d) は30と互いに素である必要があります。
したがって、
$$
\boxed{
d\equiv1,7,11,13,17,19,23,29\pmod{30}
}
$$
という8本の合同類に絞られます。
ここは重要です。
「30個の可能性が4個になる」のではなく、素数候補として残るのは30個中8個です。
そして、この8本のレールの上をさらに下一桁などの条件で分類すると、素数ペアの構造がより細かく見えてきます。
第4章 120を実際に歩いてみる
この構造を具体的に見てみます。
偶数
$$
120
$$
を考え、その中心を
$$
M=60
$$
とします。
すると、
$$
p=60-d,\qquad q=60+d
$$
で、
$$
p+q=120
$$
です。
ここで、(p,q) がともに素数になる (d) を探します。
たとえば、
$$
d=1
$$
なら、
$$
(60-1,60+1)=(59,61)
$$
で、確かに両方とも素数です。
同様に、
$$
d=7
$$
では、
$$
(53,67)
$$
、
$$
d=13
$$
では、
$$
(47,73)
$$
、
$$
d=19
$$
では、
$$
(41,79)
$$
となります。
つまり、
$$
120=59+61
$$
$$
120=53+67
$$
$$
120=47+73
$$
$$
120=41+79
$$
という複数のゴールドバッハ分解が、
$$
d=1,7,13,19
$$
という「中心からの距離」に対応して現れます。
ここで注意したいのは、(120) が
$$
M^2-d^2
$$
になっているという意味ではありません。
120は素数の和
$$
p+q=120
$$
として固定されていて、そのときの積
$$
N=pq=M^2-d^2
$$
を調べています。
この区別は非常に重要です。
第5章 234ではどうなるのか？
次に、あえて30の倍数ではない偶数を考えます。
$$
234
$$
なら、
$$
M=117
$$
です。
したがって、
$$
p=117-d,\qquad q=117+d.
$$
この場合も、(p,q) が素数になるためには、2、3、5などによる割り切れを避けなければなりません。
たとえば、
$$
d=10
$$
なら、
$$
(107,127)
$$
で、どちらも素数。
また、
$$
d=14
$$
なら、
$$
(103,131)
$$
で、これも両方とも素数です。
したがって、
$$
234=107+127
$$
$$
234=103+131
$$
という分解が得られます。
ここで私が面白いと思っているのは、
偶数 (2M) を固定すると、素数ペアを生み出す距離 (d) に、合同条件による「レール」が現れる
ということです。
もちろん、ある合同類に入っているからといって、必ず素数になるわけではありません。
合同条件はあくまで必要条件です。
しかし、無限にある (d) の候補から、最初に「素数になり得ないもの」を大量に削り取れる。
この視点は、ゴールドバッハ問題を別の角度から眺めるうえで、かなり興味深いと思っています。
第6章 トーシェント関数をもう一度呼び戻す
ここで前作のもう一つの道具、
$$
\varphi(N)
$$
を戻します。
もし
$$
N=pq
$$
で、(p,q) が異なる素数なら、
$$
\varphi(N)=(p-1)(q-1)
$$
です。
したがって、
$$
N-\varphi(N)
=pq-(p-1)(q-1)
$$
なので、
$$
N-\varphi(N)=p+q-1.
$$
さらに
$$
p+q=2M
$$
だから、
$$
\boxed{N-\varphi(N)=2M-1}
$$
となります。
これは非常に美しい関係です。
ゴールドバッハ分解
$$
2M=p+q
$$
が存在して、その積を
$$
N=pq
$$
とすれば、
$$
N=M^2-d^2
$$
と同時に、
$$
N-\varphi(N)=2M-1
$$
も成立する。
つまり、
$$
\boxed{
N=M^2-d^2
}
$$
と
$$
\boxed{
N-\varphi(N)=2M-1
}
$$
という2つの条件を同時に満たす整数 (N) を探す問題へ、ゴールドバッハ問題を翻訳できます。
第7章 ところが、ここで「半素数」と決めつけてはいけない
ここが前作から続く、非常に重要な壁です。
仮にトーシェント関数の議論から、
(N) は異なる素因数を3種類以上持てない
というところまで絞り込めたとしても、
$$
N=pq
$$
とはまだ言えません。
たとえば、
$$
N=r^2s^3
$$
のような数も、異なる素因数の種類は (r,s) の2種類しかありません。
したがって、
$$
\text{異なる素因数が高々2種類}
$$
と
$$
\text{異なる2素数の積}
$$
の間には、まだ大きな壁があります。
前作でも、この点を「最大の未解決部分」として残しています。
そして今回、私はこの壁をもう少し正面から考えてみたいと思います。
第8章 「指数の壁」をトーシェント関数で見る
仮に、
$$
N=r^as^b
$$
という形になっているとします。
ここで (r,s) は異なる素数です。
このとき、
$$
\varphi(N)=r^{a-1}s^{b-1}(r-1)(s-1)
$$
なので、
$$
N-\varphi(N)=r^as^b-r^{a-1}s^{b-1}(r-1)(s-1).
$$
整理すると、
$$
\boxed{
N-\varphi(N)=r^{a-1}s^{b-1}(r+s-1)
}
$$
となります。
もし、この (N) が私たちの研究対象である
$$
N-\varphi(N)=2M-1
$$
を満たすなら、
$$
\boxed{
2M-1=r^{a-1}s^{b-1}(r+s-1)
}
$$
という方程式が必要になります。
※詳しい導出方法は「補足」をご覧ください。
ここで、
$$
a=b=1
$$
なら、
$$
2M-1=r+s-1
$$
となり、
$$
r+s=2M
$$
です。
これはまさにゴールドバッハ分解に戻ります。
問題は、
$$
a>1
$$
または
$$
b>1
$$
の場合です。
第9章 「サイズの天秤」は本当に累乗を排除できるのか？
ここで一つの直感が生まれます。
左辺は
$$
2M-1
$$
であり、(M) に対して1次的に増えます。
一方、
$$
N=M^2-d^2
$$
かつ
$$
\frac34M^2 < N\le M^2
$$
なので、(N) は (M^2) と同程度の大きさです。
もし
$$
N=r^as^b
$$
で、(a) や (b) が2以上なら、素因数の累乗が入ります。
そのため、
$$
r^{a-1}s^{b-1}(r+s-1)
$$
が
$$
2M-1
$$
と両立できるのか、という「サイズの天秤」が現れます。
直感的には、
(N) は (M^2) の近くにあるのに、(N-φ(N)) は (2M-1) 程度しかない。
という、一見するとかなり厳しい条件です。
実際、
$$
N>\frac34M^2
$$
なので、
$$
\frac{N-\varphi(N)}N=\frac{2M-1}{N}
$$
は、おおむね
$$
O\left(\frac1M\right)
$$
の大きさになります。
したがって、
$$
\frac{\varphi(N)}N
$$
は1に非常に近くなければなりません。
一方、
$$
\frac{\varphi(N)}N=\prod_{r\mid N}\left(1-\frac1r\right)
$$
なので、(N) が小さい素数をたくさん含めば、この値は下がります。
このことから、
「平方に近い」というサイズ条件と「トーシェントが非常に大きい」という条件を同時に課すと、(N) の素因数構造に強い制約がかかる
という見方ができます。
第10章 しかし、「だから指数は1」とはまだ言えない
ここは今回の記事で最も慎重に扱いたいところです。
私は当初、
大きな素数の累乗なら右辺が大きくなりすぎる。
小さな素数なら、(N) を (M^2) 近くまで大きくするために相方の素数が大きくなり、やはり右辺が大きくなりすぎる。
という「二段構えのサイズ評価」で、
$$
a=b=1
$$
しか残らないのではないかと考えました。
これは非常に魅力的な方向です。
しかし、現時点では、すべての (r,s,a,b,M,d) に対して成立する厳密な不等式として完成していません。
特に、
(r,s) の大小関係
(a,b) のどちらが2以上なのか
(r,s) の一方が非常に小さい場合
(N) が (3/4M^2) の境界近くにある場合
などを、すべて同時に処理する必要があります。
したがって、
$$
a=b=1
$$
を現時点で「証明された結論」とすることはできません。
ここは正直に、
「指数を排除できる可能性が見えてきたが、厳密な証明はまだ完成していない」
とするのが、現在の到達点です。
第11章 それでも「30のレール」は何を教えてくれるのか
ここまでの議論をまとめてみます。
ゴールドバッハ分解を
$$
2M=p+q
$$
とすると、
$$
p=M-d,\qquad q=M+d
$$
と書けます。
すると、
$$
N=pq=M^2-d^2.
$$
さらに、異なる2素数の積なら、
$$
N-\varphi(N)=2M-1.
$$
一方、研究上の追加条件
$$
0\le d<\frac M2
$$
を置けば、
$$
\frac34M^2 < N\le M^2.
$$
そして素数が2、3、5で割り切れないという基本的な条件から、30を法とする合同条件が現れます。
特に
$$
(M\equiv0\pmod{30})
$$
なら、
$$
d\equiv
1,7,11,13,17,19,23,29
\pmod{30}
$$
という候補に絞られます。
つまり、私が今回見つめている景色は、
$$
\boxed{
\text{ゴールドバッハ}
\rightarrow
\text{平方差}
\rightarrow
\text{30の合同条件}
\rightarrow
\text{トーシェント}
\rightarrow
\text{素因数構造}
}
$$
という一本の流れです。
第12章 「完全包囲網」はまだ完成していない
ここまで来ると、
「では、これでゴールドバッハ予想は証明できたのか？」
という問いが当然出てきます。
答えは、
まだです。
現在の議論から見えているのは、
素数ペアを中心 (M) と距離 (d) で表せる。
その積は (N=M^2-d^2) になる。
追加条件 (d<M/2) を置くと、(N) は (M^2) の近くに位置する。
トーシェント関数を使うと、(N-φ(N)=2M-1) という強い条件が現れる。
さらに2、3、5によるふるいを重ねると、(d) の合同類をかなり絞り込める。
(N) の異なる素因数の数にも制約を与えられる可能性がある。
というところまでです。
しかし、
$$
N=r^as^b
$$
のような累乗を完全に排除して、
$$
N=pq
$$
まで押し込む最後の部分は、まだ証明できていません。
結び 「あと一歩」を、あと一歩のまま残す
数学では、「それらしく見える」ことと「証明されている」ことの間に、大きな距離があります。
今回の私の「サイズの天秤」も、まさにそこにあります。
$$
N\approx M^2
$$
なのに、
$$
N-\varphi(N)=2M-1
$$
しかない。
さらに、
$$
N=r^as^b
$$
なら、
$$
2M-1=r^{a-1}s^{b-1}(r+s-1)
$$
となる。
この構造を見ると、
「累乗を持った (N) は、この厳しい条件を本当に生き残れるのだろうか？」
という疑問が自然に生まれます。
そして、30を法とする合同条件まで重ねると、
「残された (d) のレールは、さらにどこまで狭められるのか？」
という、もう一つの問題が現れます。
もしかすると、この2つの方向――
「サイズによる指数の排除」
と
「合同条件による (d) のふるい」
を組み合わせることで、これまで見えなかった構造が現れるかもしれません。
ただし、現段階で私はこれを「証明」とは呼びません。
これはあくまで、
$$
\boxed{
\text{ゴールドバッハ問題を別の座標系から包囲していく研究方針}
}
$$
です。
280年以上解けていない問題だからこそ、最後の一歩を飛ばしてはいけない。
証明できていない部分は、証明できていないと書く。
そのうえで、
「ここまでは確かに言える。では、その次は何なのか？」
を考える。
今回見つけた「平方への近接性」「30のレール」「トーシェントの制約」「指数の壁」。
この4つが、いつか一本の線につながるのか。
私はもう少し、この景色を歩いてみたいと思います。
証明ではない。
でも、だからこそ――
次に何を証明すべきなのかが、少しずつ見えてきた。
それが今回の最大の収穫です。
🔑【補足】 数式から導かれる「累乗を追い詰める方程式」
前作の議論では、一定の条件のもとで、(N) が異なる素因数を3種類以上持つことを排除できました。
ただし、ここでまだ大きな問題が残っています。
異なる素因数が高々2種類だからといって、(N) がただちに2つの素数の積になるわけではありません。
そこで、
$$
N=r^a s^b
\qquad(a,b\ge1)
$$
と置いてみます。
ここで (r,s) は異なる素数です。
このとき、オイラーのトーシェント関数には、
$$
\frac{\varphi(N)}{N}=\left(1-\frac1r\right)\left(1-\frac1s\right)
$$
という性質があります。
ここが非常に面白いところです。
指数 (a,b) が何であっても、この比率には指数が現れません。
したがって、
$$
\frac{N-\varphi(N)}{N}=1-\frac{\varphi(N)}N
$$
なので、
$$
\frac{N-\varphi(N)}N=1-\left(1-\frac1r\right)\left(1-\frac1s\right).
$$
右辺を整理すると、
$$
\frac{N-\varphi(N)}N=\frac{r+s-1}{rs}.
$$
一方、前作で導入された重要な関係、
$$
N-\varphi(N)=2M-1
$$
を使えば、
$$
\frac{N-\varphi(N)}N=\frac{2M-1}{N}.
$$
したがって、
$$
\frac{2M-1}{N}=\frac{r+s-1}{rs}.
$$
ここで、
$$
N=r^as^b
$$
なので、両辺に (N) を掛けると、
$$
2M-1=N\frac{r+s-1}{rs}
$$
となります。
そして、
$$
\frac{N}{rs}=\frac{r^as^b}{rs}=r^{a-1}s^{b-1}.
$$
よって、
$$
\boxed{
2M-1=r^{a-1}s^{b-1}(r+s-1)
}
$$
という方程式が得られます。
ここが「指数の壁」の核心
もし
$$
a=b=1
$$
なら、
$$
r^{a-1}s^{b-1}=1
$$
なので、
$$
2M-1=r+s-1.
$$
したがって、
$$
r+s=2M.
$$
これはまさにゴールドバッハ分解です。
つまり、この方程式を見ると、
$$
\boxed{
a=b=1
}
$$
なら、きれいにゴールドバッハの世界へ戻ります。
では逆に、
$$
a>1
\quad\text{または}\quad
b>1
$$
ならどうなるのでしょうか？
その場合、
$$
r^{a-1}s^{b-1}
$$
という「余分な因子」が現れます。
したがって、残された本当の問題は、
この余分な因子を持つ
$$
N=r^as^b
$$
が、
$$
2M-1=r^{a-1}s^{b-1}(r+s-1)
$$
と同時に、
$$
\frac34M^2 < N\le M^2
$$
というサイズ条件まで満たすことができるのか？
ということになります。
ここを完全に排除できれば、
$$
a=b=1
$$
すなわち
$$
N=rs
$$
へ到達できます。
ただし、ここはまだ「証明済み」ではありません。
この方程式は「累乗を殺した」のではなく、累乗が存在するなら必ず通らなければならない狭い門を作った、という段階です。
そして、この門を本当に通れないことまで証明できるか――。
それが、今回の「指数の壁」の核心になります。
